8.1.22 定理：非負行列のスペクトル半径に対する行和および列和の上下界
非負行列 \( A = [a_{ij}] \in M_n \) に対して、次の不等式が成り立つ。
\min_{1 \le i \le n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \le \rho(A) \le
\max_{1 \le i \le n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}
\tag{8.1.23}
また同様に、列和についても次が成り立つ。
\min_{1 \le j \le n} \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \le \rho(A) \le
\max_{1 \le j \le n} \sum_{i=1}^{n} a_{ij}
\tag{8.1.24}
証明
まず、\(\alpha = \min_{1 \le i \le n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\) とおく。 もし \(\alpha = 0\) ならば \(B = 0\) とする。 \(\alpha > 0\) の場合は、行列 \(B = [b_{ij}]\) を次のように定義する。
b_{ij} = \alpha \, a_{ij}
\left( \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \right)^{-1}.
このとき \(A \ge B \ge 0\) であり、すべての \(i = 1, \dots, n\) に対して
\sum_{j=1}^{n} b_{ij} = \alpha
が成り立つ。前の補題より \(\rho(B) = \alpha\) であり、また定理 (8.1.19) から \(\rho(B) \le \rho(A)\) が従う。 したがって、式 (8.1.23) の下限が示された。上限については、補題 (8.1.21) のノルムによる評価を適用すればよい。 列和に関する評価式 (8.1.24) は、行和に関する結果を \(A^T\) に適用することで得られる。
系 8.1.25 非負行列のスペクトル半径が正となる条件
\( A = [a_{ij}] \in M_n \) が非負行列であり、次のいずれかが成り立つとき、
\sum_{j=1}^{n} a_{ij} > 0 \quad (i = 1, \dots, n),
\quad \text{または} \quad
\sum_{i=1}^{n} a_{ij} > 0 \quad (j = 1, \dots, n),
スペクトル半径 \(\rho(A)\) は正である。特に、\(n \ge 2\) かつ \(A\) が非負で既約（irreducible）であるとき、 \(\rho(A) > 0\) が成り立つ。
演習
\(A, B \in M_n\) が非負であり、\(n \ge 2\) とする。 \(A\) が既約であり、\(B\) が正の行列であると仮定する。 なぜ \(A\) は零行または零列をもたないのか、またすべての主対角成分がゼロでありうるのはなぜかを説明せよ。 さらに、なぜ積 \(AB\) は正の行列となるのかを考察せよ。
一般化：スケーリングによる非負行列の拡張
非負行列 \(A \ge 0\) に対し、すべての \(x_i > 0\) を成分にもつ対角行列 \(S = \mathrm{diag}(x_1, \dots, x_n)\) を考える。 このとき次が成り立つ。
S^{-1} A S = [a_{ij} x_i^{-1} x_j] \ge 0,
\quad \rho(A) = \rho(S^{-1} A S).
式 (8.1.22) をこの \(S^{-1} A S\) に適用することで、自由変数を導入したより一般的なスペクトル半径の評価が得られる。
行列解析の総本山
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