8.0.問題集
この節では、スペクトル半径、固有値、そして非負行列の挙動に関するいくつかの基本的な問題を扱う。以下の各問題を通して、行列の反復乗算や極限に関する性質を確認する。
問題 8.0.P1
次の行列を考える。
A =
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
このとき、行列 \( A \) のスペクトル半径が 1 であり、列 \( A, A^2, A^3, \ldots \) が有界でないことを示せ。
問題 8.0.P2
次の行列を考える。
A_\varepsilon =
\begin{bmatrix}
(1 + \varepsilon)^{-1} & (1 + \varepsilon)^{-1} \\
\varepsilon^2 (1 + \varepsilon)^{-1} & (1 + \varepsilon)^{-1}
\end{bmatrix},
\quad \varepsilon \gt 0
(a) 固有値 \( \lambda_2 = 1 \) が単純固有値であり、スペクトル半径 \( \rho(A_\varepsilon) = \lambda_2 = 1 \)、さらに \( 1 \gt |\lambda_1| \) が成り立つことを示せ。
(b) 次のベクトル
x = (1 + \varepsilon)^{-1}
\begin{bmatrix}
1 \\
\varepsilon
\end{bmatrix},
\quad
y = (1 + \varepsilon)(2\varepsilon)^{-1}
\begin{bmatrix}
\varepsilon \\
1
\end{bmatrix}
が、それぞれ \( A_\varepsilon \) および \( A_\varepsilon^{T} \) の固有ベクトルであり、固有値 \( \lambda = 1 \) に対応することを示せ。
(c) \( m = 1, 2, \ldots \) に対して、\( A_\varepsilon^m \) を明示的に計算せよ。
(d) 次を示せ。
\lim_{m \to \infty} A_\varepsilon^m
= \frac{1}{2}
\begin{bmatrix}
1 & \varepsilon \\
-\varepsilon^{-1} & 1
\end{bmatrix}
(e) \( xy^T \) を計算し、その意味について考察せよ。
(f) \(\varepsilon \to 0\) のときに何が起こるかを述べよ。
問題 8.0.P3
もし、都市間の移住係数からなる \( n \times n \) 行列が既約であるならば、住民の移動の自由についてどのようなことが言えるか。
参考文献
正行列および非負行列の性質に関する豊富な情報と、理論的・応用的な文献への参照については、Berman and Plemmons (1994)、Seneta (1973) を参照せよ。
また、Varga (2000) の著書には、非負行列に関する結果の概要がまとめられており、特に数値解析への応用に重点が置かれている。
行列解析の総本山
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