[行列解析7.8.8]補題：正定値行列に対する部分行列式の不等式

7.8.8 補題：正定値行列に対する部分行列式の不等式
- 証明．
行列解析の総本山

7.8.8 補題：正定値行列に対する部分行列式の不等式

補題 7.8.8．

\( B \in M_m \) を正定値行列とする。集合 \( \alpha, \beta \subset \{1, \ldots, m\} \) について、\( \alpha^{c} \) と \( \beta^{c} \) が空でなく、かつ互いに素であり、さらに \( \alpha \cup \beta = \{1, \ldots, m\} \) が成り立つと仮定する。このとき、次の不等式が成り立つ。

\det B[\alpha^{c} \cup \beta^{c}] \le (\det B[\alpha^{c}])(\det B[\beta^{c}])

証明．

一般性を失うことなく、\( \beta^{c} = \{1, \ldots, k\} \)、\( \alpha^{c} = \{j, \ldots, m\} \)、および \( 1 \lt k \lt j \lt m \) と仮定してよい。このとき、\( A[\alpha^{c}] \) と \( A[\beta^{c}] \) は \( A[\alpha^{c} \cup \beta^{c}] \) の相補的な主小行列である。したがって、式 (7.8.6) より次が成り立つ。