7.8.5
フィッシャーの不等式（Fischer’s Inequality）
定理 7.8.5（フィッシャーの不等式）
次のように分割されたエルミート行列
H =
\begin{bmatrix}
A & B \\
B^{*} & C
\end{bmatrix}
\in M_{p+q},
\quad A \in M_p, \ C \in M_q
が正定値であるとする。このとき次が成り立つ。
\det H \le (\det A)(\det C)
証明
\( A = U \Lambda U^{*} \)、\( C = V \Gamma V^{*} \) をそれぞれのスペクトル分解とする。ただし \( U \) および \( V \) はユニタリ行列であり、\( \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_p) \)、\( \Gamma = \mathrm{diag}(\gamma_1, \ldots, \gamma_q) \) は正の対角行列である。
ここで \( W = U \oplus V \) とおくと、次のように計算できる。
W^{*} H W =
\begin{bmatrix}
\Lambda & U^{*} B V \\
V^{*} B^{*} U & \Gamma
\end{bmatrix}
アダマールの不等式 (7.8.2) より、
\det H = \det(W^{*} H W)
\le (\lambda_1 \cdots \lambda_p)(\gamma_1 \cdots \gamma_q)
= (\det A)(\det C)
が得られる。□
演習問題
式 (7.8.6) は式 (7.8.2) から導かれた。次に、(7.8.6) を用いて帰納法により次を証明せよ。行列 \( H = [H_{ij}]_{i,j=1}^k \) が \( k \times k \) のブロック行列であり、各対角ブロック \( H_{ii} \in M_{n_i} \) であるとき、
\det H \le (\det H_{11}) \cdots (\det H_{kk})
が成り立つことを示せ（式 (7.8.7)）。さらに、(7.8.2) が (7.8.7) から導かれる理由を説明し、フィッシャーの不等式とアダマールの不等式が同値であることを結論づけよ。
フィッシャーの不等式とアダマールの不等式はいずれも、互いに素な主小行列の行列式に関する関係を述べている。アダマールの不等式は
\det A \le (\det A[\{1\}]) \cdots (\det A[\{n\}])
の形で表される。一方、フィッシャーの不等式は補集合関係にある主小行列のペアに対して次を主張する。
\det A \le (\det A[\alpha])(\det A[\alpha^{c}])
ここで \( \alpha \subset \{1, \ldots, n\} \) とし、慣習として \( \det A[\emptyset] = 1 \) とする。
Koteljanskiĭ による不等式（しばしばアダマール–フィッシャーの不等式と呼ばれる）は、この補集合関係をさらに一般化したものである。この不等式では、主小行列の添字集合が重なってもよい。また、添字集合 \( \alpha \) が空集合のときは \( \det A[\alpha] = 1 \) とする。
次の補題は、フィッシャーの不等式の帰結として導かれるものである。
行列解析の総本山
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