[行列解析7.8.3]系：アダマールの不等式

7.8.3
- アダマールの不等式の系（Hadamard’s Inequality）
- 演習
行列解析の総本山

7.8.3

アダマールの不等式の系（Hadamard’s Inequality）

系 7.8.3（アダマールの不等式）　

\( B \in M_n \) を正則行列とする。列ごとに

B = [\, b_1 \ \cdots \ b_n \,], \quad B^{*} = [\, \beta_1 \ \cdots \ \beta_n \,]

と分割する。このとき次が成り立つ。

|\det B| \le \|b_1\|_2 \cdots \|b_n\|_2, \quad |\det B| \le \|\beta_1\|_2 \cdots \|\beta_n\|_2

式 (7.8.4) のそれぞれの不等式について、等号が成り立つのは \( B \) の列ベクトル（それぞれ行ベクトル）が互いに直交している場合に限られる。

（証明）正定値行列 \( A = B^{*}B \) に対して、定理 (7.8.2) を適用する。すると

\det A = |\det B|^2

が成り立つ。また \( A \) の主対角要素はそれぞれ \( \|b_1\|_2^2, \ldots, \|b_n\|_2^2 \) である。\( B \) の列ベクトルが互いに直交しているのは、\( A \) が対角行列である場合に限られる。

式 (7.8.4) の第2の不等式は、第1の不等式を \( B^{*} \) に適用することで得られる。□

演習

式 (7.8.4) は式 (7.8.2) から導かれたが、今度は逆に (7.8.4) から (7.8.2) を導け。ヒント：もし \( A \) が正定値ならば、(7.2.7) を用いて \( A = B^{*}B \) と書け（このような \( B \) は任意にとってよい）。このとき \( B \) に対して (7.8.4) を適用し、両辺を二乗せよ。

アダマールの不等式は、半正定値行列の特定の主小行列（principal submatrix）に関する命題でもある。以下では、同種の主小行列に関して成り立つ、アダマールの不等式と同値な3つの不等式を扱う。