7.8.27 ファンの行列式不等式（Fan’s Determinant Inequality）
定理 7.8.27（ファンの行列式不等式）
\( H, K \in M_n \) をエルミート行列とし、\( A = H + iK \) とする。もし \( H \) が正定値であるならば、次の不等式が成り立つ。
(\det H)^{2/n} + |\det K|^{2/n} \leq |\det(H + iK)|^{2/n} = |\det A|^{2/n}
このとき、等号が成り立つのは、行列 \( H^{-1}K \)（必ず実固有値を持つ）のすべての固有値が同じ絶対値をもつ場合に限る。
証明
定理 7.6.4 より、非特異行列 \( S \in M_n \) が存在して、次が成り立つ：
H = S I S^*, \quad K = S \Lambda S^*
ここで、\( \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \) は実対角行列であり、その成分 \( \lambda_i \) は対角化可能な行列 \( H^{-1}K \) の固有値である。
不等式 (7.8.28) は、次の不等式と同値である：
|\det(I + i\Lambda)|^{2/n} \geq 1 + |\det \Lambda|^{2/n}
ここで、
\left( \prod_{j=1}^{n} |1 + i\lambda_j| \right)^{2/n} = \left( \prod_{j=1}^{n} (1 + \lambda_j^2) \right)^{1/n}, \quad
|\det \Lambda|^{2/n} = \left( \prod_{j=1}^{n} \lambda_j^2 \right)^{1/n}
したがって、次を示せばよい：
1 + \left( \prod_{j=1}^{n} \lambda_j^2 \right)^{1/n}
\leq
\left( \prod_{j=1}^{n} (1 + \lambda_j^2) \right)^{1/n}
この不等式は、ミンコフスキーの不等式（B10）の特別な場合である。等号が成り立つのは、
\lambda_1^2 = \lambda_2^2 = \cdots = \lambda_n^2 = c \geq 0
の場合に限る。特に、\( c = 0 \) のとき \( K = S \Lambda S^* = 0 \) となる。
演習
上の定理の仮定のもとで、行列 \( H^{-1}K \) のすべての固有値が同じ絶対値をもつことと、ある定数 \( c \geq 0 \) に対して \( (H^{-1}K)^2 = cI \) が成り立つことが同値であることを説明せよ。
演習
実数 \( \gamma \) が存在して \( K = \gamma H \) が成り立つとする。このとき不等式 (7.8.28) が等号となることを示せ。ただし、これが唯一の等号成立条件ではないことに注意せよ。
演習
(7.8.25) および (7.8.28) から、それぞれ不等式 (7.8.20) を導出せよ。
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