[行列解析7.8.24]定理：Hermitian 行列に対する拡張オストロフスキー–タウスキー不等式

7.8.24 定理(Hermitian 行列に対する拡張オストロフスキー–タウスキー不等式)
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7.8.24 定理(Hermitian 行列に対する拡張オストロフスキー–タウスキー不等式)

定理 7.8.24．\( n \ge 2 \) とし、\( H, K \in M_n \) を Hermitian 行列とする。さらに \( A = H + iK \) とする。もし \( H \) が正定値であるならば、次の不等式が成り立つ。

(7.8.25)

\det H + |\det K| \le |\det(H + iK)| = |\det A|

ここで、\( n = 2 \) の場合、等号が成り立つのは \( K = cH \) （ただし \( c \in \mathbb{R} \)）のとき、かつそのときに限る。一方、\( n \ge 3 \) の場合、等号が成り立つのは \( K = 0 \)、すなわち \( A \) が Hermitian のとき、かつそのときに限る。

証明．

(7.8.19) の証明と同様に進める。 \( A = H(I + iH^{-1}K) \) であるから、

|\det A| = (\det H)\,|\det(I + iH^{-1}K)|

また、

\det H + |\det K| = (\det H)(1 + |\det(H^{-1}K)|)

である。\( H^{-1}K \) は実対角行列 \( \Phi = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \) に相似であるので、次の不等式を示せばよい。

|\det(I + iH^{-1}K)| = \prod_{j=1}^{n} |1 + i\lambda_j| \ge 1 + \prod_{j=1}^{n} |\lambda_j| = \det I + |\det(H^{-1}K)|

各 \( |1 + i\lambda_j|^2 = 1 + \lambda_j^2 \) であるから、次の等価な不等式を示せば十分である。

(7.8.26)

\prod_{j=1}^{n}(1 + \lambda_j^2) \ge \left( 1 + \prod_{j=1}^{n} |\lambda_j| \right)^2 \\ \quad n \ge 2, \; \lambda_j \in \mathbb{R}

まず \( n = 2 \) の場合、算術平均–幾何平均の不等式（AM–GM 不等式）により次が成り立つ。

(1 + \lambda_1^2)(1 + \lambda_2^2) = 1 + \lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_1^2 \lambda_2^2 \ge 1 + 2|\lambda_1 \lambda_2| + \lambda_1^2 \lambda_2^2 = (1 + |\lambda_1 \lambda_2|)^2

等号が成り立つのは \( \lambda_1 = \lambda_2 = c \) のとき、すなわち \( K = cH \) の場合に限る。

次に \( n \ge 3 \) の場合を考える。次のように展開する：

\prod_{j=1}^{n}(1 + \lambda_j^2) = 1 + \sum_{j=1}^{n} \lambda_j^2 + \sum_{j \lt k} \lambda_j^2 \lambda_k^2 + \text{（非負項）}

ここで、非負の項を無視して次を得る：

\prod_{j=1}^{n}(1 + \lambda_j^2) \ge 1 + \sum_{j=1}^{n-1}\lambda_j^2 + \lambda_n^2 + \sum_{j=1}^{n}\lambda_j^2 \ge 1 + 2\left( \sum_{j=1}^{n-1}|\lambda_j| \right)|\lambda_n| + \sum_{j=1}^{n}\lambda_j^2 = \left( 1 + \sum_{j=1}^{n}|\lambda_j| \right)^2

最初の不等式は非負項の削除によるものであり、次の不等式は \((n-1)\) 個の項の削除によるものである。最後の不等式は算術平均–幾何平均の不等式の適用による。

したがって、もし \( n \ge 3 \) で (7.8.26) が等号で成り立つならば、 \( \lambda_1 = \cdots = \lambda_{n-1} = 0 \) かつ \( \lambda_n = \prod_{j=1}^{n-1}\lambda_j = 0 \) である。逆に、すべての \( \lambda_j = 0 \) のとき、(7.8.26) は等号を満たす。

したがって \( n \ge 3 \) の場合、不等式 (7.8.26) が等号を満たすのは \( \Phi = 0 \)、すなわち \( K = 0 \)、したがって \( A \) が Hermitian のときに限る。