[行列解析7.7.P40]

7.7.問題40

\(A \in M_p\) が正定値、\(B \in M_q\) が半正定値であり、次の行列が半正定値であるとする：

H = \begin{pmatrix} A & B \\ B^* & C \end{pmatrix} \in M_{p+q}

A に関するシュール補行列を \(S_H(A) = C - B^* A^{-1} B\) と定める。

次を主張する：

(7.7.20)

S_H(A) = \max \{ E \in M_q : E = E^* \text{ かつ } H \succeq \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & E \end{pmatrix} \}

ここで "max" はローナー順序に関する最大値である。詳細は次の通り：

(a) (7.7.5) の ∗合同を用いて、次が ∗合同であることを示す：

H - \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & E \end{pmatrix} \sim A \oplus (S_H(A) - E)

(b) \(H - \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & E \end{pmatrix} \succeq 0\) は、A が正定値かつ \(S_H(A) - E \succeq 0\) であることと同値である。