7.7.問題1
7.7.P1
次の行列を考えて、
\begin{pmatrix}4 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} ,
\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}
(7.7.4(c))
\(A, B \in M_n\) をエルミート行列とし、\(A\) と \(B\) の固有値をそれぞれ
\(\lambda_1(A) \le \cdots \le \lambda_n(A)\)、\(\lambda_1(B) \le \cdots \le \lambda_n(B)\) とする。
この時、
\(A \succeq B\) のとき、各 \(i = 1, \ldots, n\) について \(\lambda_i(A) \ge \lambda_i(B)\) が成り立つ。
(7.7.4(c)) の含意が逆には成り立たない理由を説明せよ。
ただし、「\(A, B \in M_n\) がエルミート行列であり、
\(A = U \Lambda U^*\)、
\(B = V M V^*\) がスペクトル分解で
\(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\)、
\(\lambda_1 \le \dots \le \lambda_n\) および
\(M = \mathrm{diag}(\mu_1, \dots, \mu_n)\)、
\(\mu_1 \le \dots \le \mu_n\)、
さらに
\(\Lambda \succeq M\)」 ならば、
「単位行列 \(W\) が存在して \(W^* A W \succeq B\) となる」ことを示せ。
実際には \(W = UV^*\) と取ることができる。
解答例
A=\begin{pmatrix}4 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} ,
B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}
とおくと、
\lambda_1(A)=2,\lambda_2(A)=4 \\ \lambda_1(B)=1,\lambda_2(A)=3
であるので、
各 \(i = 1, \ldots, n\) について \(\lambda_i(A) \ge \lambda_i(B)\) が成立している。
しかし、
A-B=\begin{pmatrix}3 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}
となり、これは半正定値ではない。したがって\( A \succeq B \)は成立していない。
\(A, B \in M_n\) がエルミート行列であり、
スペクトル分解が、\(A = U \Lambda U^*\)、\(B = V M V^*\) 、
\(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\)、\(\lambda_1 \le \dots \le \lambda_n\) および
\(M = \mathrm{diag}(\mu_1, \dots, \mu_n)\)、\(\mu_1 \le \dots \le \mu_n\)とする。
\(\Lambda \succeq M\) ならば、
\begin{aligned}
(UV^*)^* A (UV^*)
& = V (U^* A U) V^* \\
& = V \Lambda V^* \\
& = \Lambda \\
& \succeq M \\
& = V M V^* \\
&= B
\end{aligned}よって、\((UV^*)^* A (UV^*) \succeq B\) である。
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