[行列解析7.7.16]定理：正定値行列に関する半正定値かつ特異なブロック行列の構成

7.7.16 正定値行列に関する半正定値かつ特異なブロック行列の構成

\(A ∈ M_n\) を正定値行列とする。
次の行列は半正定値かつ特異である：

\text{(a)} \quad \begin{bmatrix} A & X \\ X^* & X^* A^{-1} X \end{bmatrix}, \quad X \in M_{n,m}

\text{(b)} \quad \begin{bmatrix} A & I_n \\ I_n & A^{-1} \end{bmatrix}

\text{(c)} \quad \begin{bmatrix} A & A \\ A & A \end{bmatrix}

(7.7.9) を用いる。各場合について、ブロック行列

\begin{bmatrix} A & B \\ B^* & C \end{bmatrix}

について、\(A\) が非特異かつ \(C = B^* A^{-1} B \) であることを確認する。

\text{(a)} \quad X^* A^{-1} X - X^* A^{-1} X = 0

(b) は (a) において \(X = I_n\) とすればよい。
(c) は (a) において \(X = A\) とすればよい。

\(A \succeq 0 \) のとき、次を示せ：

\begin{bmatrix} A & A \\ A & A \end{bmatrix} \succeq 0

ヒント：

S = A^{1/2} \oplus A^{1/2}, \quad \begin{bmatrix} I & I \\ I & I \end{bmatrix} = S S^*

半正定値行列のアダマール積に関する多くの不等式は、適切な半正定値 2×2 ブロック行列のアダマール積を考えることで導かれる。
(7.5.3) により、これらの積は半正定値であることが保証される。この手法の例が次の定理で示される。