[行列解析7.7.13]系：半正定値行列の順序関係

7.7.13　半正定値行列の順序関係
- 系 7.7.13
- 証明
行列解析の総本山

7.7.13　半正定値行列の順序関係

系 7.7.13

\( A, B \in M_n \) を半正定値行列とする。次の条件は互いに同値である。

(a) \( A \succeq B \)。

(b) 次のブロック行列が半正定値である：

\begin{bmatrix} A & B \\ B & A \end{bmatrix} \succeq 0

B = A^{1/2} X A^{1/2}

が成り立つ。

証明

任意の \( x \in \mathbb{C}^n \) に対して \( A \succeq B \) が成り立つことは \( x^* A x \ge x^* B x \) と同値である。したがって、(7.7.12) の結果から、エルミート行列 B が半正定値である特殊な場合において、述べた同値性が成立する。ただし、X を単にエルミートではなく半正定値として選ぶことができればよい。各 ε > 0 に対して \((A + \varepsilon I)^{-1/2} B (A + \varepsilon I)^{-1/2}\) は半正定値であるため、(7.7.9.1) により X を半正定値として選ぶことが可能である。