7.7.11 半正定値行列に関する等価条件と拡張された正定値性
本稿では、行列 \( A \in M_p \)、\( C \in M_q \) が半正定値であり、\( B \in M_{p,q} \) が与えられたときに成り立つ等価な条件について述べる。この結果は、ブロック行列の半正定値性と、線形代数における種々の不等式との関係を明らかにするものである。
定理 7.7.11
\( A \in M_p \)、\( C \in M_q \) を半正定値行列とし、\( B \in M_{p,q} \) とする。次の4つの条件は互いに同値である。
(a) 任意の \( x \in \mathbb{C}^p \)、\( y \in \mathbb{C}^q \) に対して次が成り立つ：
(x^* A x)(y^* C y) \ge |x^* B y|^2
(b) 任意の \( x \in \mathbb{C}^p \)、\( y \in \mathbb{C}^q \) に対して次が成り立つ：
x^* A x + y^* C y \ge 2 |x^* B y|
(c) 次のブロック行列 \( H \) が半正定値である：
H =
\begin{bmatrix}
A & B \\
B^* & C
\end{bmatrix} \succeq 0
(d) 縮小写像 \( X \in M_{p,q} \) が存在して、
B = A^{1/2} X C^{1/2}
が成り立つ。
さらに、もし \( A \) と \( C \) が正定値であるならば、次の条件 (e) も (c) と同値である：
\rho(B^* A^{-1} B C^{-1}) \le 1
証明
(a) ⇒ (b)：算術平均–幾何平均の不等式（AM–GM不等式）より、
\frac{1}{2}(x^* A x + y^* C y) \ge (x^* A x)^{1/2} (y^* C y)^{1/2} \ge |x^* B y|
が成り立つ。
(b) ⇒ (c)：\( z = [x^*, y^*]^* \) とおくと、
z^* H z = x^* A x + y^* C y + 2 \Re(x^* B y) \ge x^* A x + y^* C y - 2 |x^* B y|
(b) の条件より右辺は非負であるため、\( H \succeq 0 \) が成り立つ。
(c) ⇒ (d)：これは定理 (7.7.9) に含まれる結果である。
(d) ⇒ (a)：もし \( B = A^{1/2} X C^{1/2} \) かつ \( X \) が縮小写像であるならば、コーシー–シュワルツの不等式および (7.3.9) より、
|x^* B y|^2 = |x^* A^{1/2} X C^{1/2} y|^2 = |(A^{1/2} x)^* (X C^{1/2} y)|^2
\le \|A^{1/2} x\|_2^2 \, \|X C^{1/2} y\|_2^2
\le \|A^{1/2} x\|_2^2 \, \sigma_1(X)^2 \, \|C^{1/2} y\|_2^2
\le (x^* A x)(y^* C y)
が成り立つ。したがって (a) が導かれる。
(e) ⇔ (c)：これは定理 (7.7.7) による。
この定理の特別な場合として、次のような正定値性の一般化が得られる：すなわち、すべての \( x \) に対して \( x^* A x \ge |x^* B x| \) が成り立つ場合である。これは通常の \( x^* A x \ge 0 \) という条件を拡張したものである。別の一般化については (7.7.P16) を参照せよ。
行列解析の総本山
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