[行列解析7.6.2]系：エルミート行列の標準形と固有値分解

7.6.2. 系

\(A, B \in M_n\) がエルミート行列であるとする。

(a) もし \(A\) が正定値であれば、\(AB\) は対角化可能であり、固有値は実数である。さらに、\(B\) が正定値または半正定値である場合、\(AB\) の固有値はそれぞれ正または非負である。

(b) もし \(A\) と \(B\) が半正定値であれば、\(AB\) は対角化可能であり、固有値は非負である。

証明. (a) 前定理の(a)項を用いて、\(A = SS^\ast\) および \(B = S^{-\ast} \Lambda S^{-1}\) と表す。すると

AB = SS^\ast S^{-\ast} \Lambda S^{-1} = S \Lambda S^{-1}

となる。

(b) 前定理の(b)項を用いて、\(A = S(I_r \oplus 0_{n-r})S^\ast\) および \(B = S^{-\ast} \Lambda S^{-1}\) と表す。すると

AB = S(I_r \oplus 0_{n-r})S^\ast S^{-\ast} \Lambda S^{-1} = S(\Lambda_1 \oplus 0_{n-r})

となる。ここで \(\Lambda = \Lambda_1 \oplus \Lambda_2\) は \(I_r \oplus 0_{n-r}\) に合わせて分割されている。

系で扱われていない場合もあり、その場合は別の手法が必要である。例えば

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

は、半正定値行列とエルミート行列の積が必ずしも対角化可能でないことを示している。次の定理では、この例が典型的であることを示す：\(AB\) は常に準対角化可能であり、ジョルダン標準形に現れる 2×2 ブロックはすべて零乗的である。