7.6.10 正定値エルミート行列に対する逆行列のトレースの凸性
定理7.6.10.
関数 \(f(A) = \operatorname{tr} A^{-1}\) は、正定値エルミート行列の凸集合上で厳密に凸である。
証明.
\(A, B \in M_n\) を正定値行列とする。すべての \(\alpha \in (0,1)\) に対して次を示す必要がある：
\operatorname{tr}(\alpha A + (1-\alpha) B)^{-1} \le \alpha \operatorname{tr} A^{-1} + (1-\alpha) \operatorname{tr} B^{-1}
等号成立は \(A = B\) の場合に限る。
定理 (7.6.4(a)) を用いて、ある非特異行列 \(S \in M_n\) と正の対角行列 \(\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\) に対して \(A = S I S^\ast\)、\(B = S \Lambda S^\ast\) と表すことができる。
正定値行列 \(S^{-1}S^{-\ast}\) の主対角成分を \(s_1, \dots, s_n\) とする。このとき
\operatorname{tr}(\alpha A + (1-\alpha) B)^{-1}
= \operatorname{tr}(\alpha S S^\ast + (1-\alpha) S \Lambda S^\ast)^{-1}
= \operatorname{tr}(S^{-\ast} (\alpha I + (1-\alpha) \Lambda)^{-1} S^{-1})
= \operatorname{tr}((\alpha I + (1-\alpha) \Lambda)^{-1} S^{-1}S^{-\ast})
= \sum_{i=1}^{n} (\alpha + (1-\alpha)\lambda_i)^{-1} s_i
\le \sum_{i=1}^{n} (\alpha s_i + (1-\alpha) \lambda_i^{-1} s_i)
= \operatorname{tr}(\alpha S^{-1} S^{-\ast} + (1-\alpha) S^{-1} \Lambda^{-1} S^{-\ast})
= \alpha \operatorname{tr} A^{-1} + (1-\alpha) \operatorname{tr} B^{-1}
等号成立はすべての \(\lambda_i = 1\) の場合、すなわち \(A = B\) の場合に限る。より強い結果については (7.7.P14) を参照。
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2025.08.05
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