7.5.3 定理：アダマール積の半正定値性と正定値性
行列 \( A, B \in M_n \) が半正定値であるとする。このとき、次のことが成り立つ。
(a) \( A \circ B \) は半正定値である。
(b) \( A \) が正定値であり、かつ \( B \) の主対角成分がすべて正であるならば、\( A \circ B \) は正定値である。
(c) \( A \) と \( B \) の両方が正定値であるならば、\( A \circ B \) も正定値である。
証明： \( A = [a_{ij}],\, B = [b_{ij}],\, x = [x_i] \) とする。
(a) \( C = (\mathrm{diag}\,x)\,\bar{B}^{1/2} \) とおき、先行する補題を用いると次のように計算できる。
x^{*}(A \circ B)x
= \mathrm{tr}\!\big((\mathrm{diag}\,\bar{x})A(\mathrm{diag}\,x)\bar{B}\big)
= \mathrm{tr}\!\big(\bar{B}^{1/2}(\mathrm{diag}\,\bar{x})A(\mathrm{diag}\,x)\bar{B}^{1/2}\big)
= \mathrm{tr}(C^{*}AC)
式 (7.1.8(a)) より、\( C^{*}AC \) は半正定値である。したがってその固有値はすべて非負であり、トレースも非負である。ゆえに、任意の \( x \in \mathbb{C}^n \) に対して
x^{*}(A \circ B)x \ge 0
よって \( A \circ B \) は半正定値である。
(b) \( A \) の最小固有値を \( \lambda_1 \gt 0 \)、\( B \) の主対角成分のうち最小のものを \( \beta \gt 0 \) とする。非零ベクトル \( x = [x_i] \in \mathbb{C}^n \) に対して考える。
\( A - \lambda_1 I \) の固有値は非負であるため、これは半正定値である。したがって \((A - \lambda_1 I) \circ B\) も半正定値である。これより次が成り立つ。
0 \le x^{*}\big((A - \lambda_1 I) \circ B\big)x
= x^{*}(A \circ B)x - \lambda_1 x^{*}(I \circ B)x
したがって
x^{*}(A \circ B)x \ge \lambda_1 x^{*}(I \circ B)x
= \lambda_1 \sum_{i=1}^{n} b_{ii} |x_i|^2
\ge \lambda_1 \beta \|x\|_2^2 \gt 0
よって、任意の非零ベクトル \(x\) に対して \(x^{*}(A \circ B)x \gt 0\) が成り立つため、\(A \circ B\) は正定値である。
(c) \(B\) が正定値である場合、式 (7.1.2) よりその主対角成分はすべて正である。したがって、この主張は (b) の結果から従う。
演習：ランク1行列の半正定値性
任意の非零ベクトル \( x \in \mathbb{C}^n \) に対して、ランク1行列 \( xx^{*} \) および \( \bar{x}x^{T} \) が半正定値であることを示せ。
ヒント： ベクトル \( y \in \mathbb{C}^n \) に対して、二次形式 \( y^{*}(xx^{*})y \) を考えると、
y^{*}(xx^{*})y = (x^{*}y)(y^{*}x) = |x^{*}y|^{2} \ge 0
したがって、\( xx^{*} \) は半正定値である。同様に、
y^{*}(\bar{x}x^{T})y = (x^{T}y)(y^{*}\bar{x}) = |x^{T}y|^{2} \ge 0
であるから、\( \bar{x}x^{T} \) も半正定値である。
行列解析の総本山
コメント