7.4.7.2 定理：ユニタリ不変ノルムと対称ゲージ関数の対応関係
\( m \) および \( n \) を正の整数とし、\( q = \min\{m, n\} \) とする。任意の \( A \in \mathbb{M}_{m,n} \) に対し、特異値分解 \( A = V \Sigma(A) W^* \) を考える。ただし、\( V \in \mathbb{M}_m \) および \( W \in \mathbb{M}_n \) はユニタリ行列であり、\( \Sigma(A) = [s_{ij}] \in \mathbb{M}_{m,n} \) は非負の対角行列で、その対角成分は \( A \) の特異値を非増加順に並べたものである。
\sigma_1(A) \ge \sigma_2(A) \ge \cdots \ge \sigma_q(A)
ここで、\( s(A) = [\sigma_1(A), \ldots, \sigma_q(A)]^T \) と定義する。
(a) \( \Vert \cdot \Vert \) を \(\mathbb{M}_{m,n}\) 上のユニタリ不変ノルムとする。任意の \( x = [x_i] \in \mathbb{C}^q \) に対し、対角成分 \( x_{ii} = x_i \ (i = 1, \ldots, q) \) をもつ対角行列 \( X = [x_{ij}] \in \mathbb{M}_{m,n} \) を定める。このとき、関数
g : \mathbb{C}^q \to \mathbb{R}^+, \quad g(x) = \Vert X \Vert
は、\(\mathbb{C}^q\) 上の対称ゲージ関数である。
(b) \( g \) を \(\mathbb{C}^q\) 上の対称ゲージ関数とする。このとき、次で定義される関数
\Vert \cdot \Vert : \mathbb{M}_{m,n} \to \mathbb{R}^+, \quad \Vert A \Vert = g(s(A))
は、\(\mathbb{M}_{m,n}\) 上のユニタリ不変ノルムである。
証明：(a) の主張はすでに証明済みなので、ここでは (b) のみを示す。 まず、行列の特異値は一意に定まるため、\( \Vert \cdot \Vert \) はよく定義された関数である。行列の特異値がユニタリ変換に対して不変であることから、任意のユニタリ行列 \( U \in \mathbb{M}_m \)、\( V \in \mathbb{M}_n \) に対して次が成り立つ。
\Vert UAV \Vert = g(s(UAV)) = g(s(A)) = \Vert A \Vert
また、\( g \) がベクトルノルムであるため、すべての \( A \in \mathbb{M}_{m,n} \) に対して \( \Vert A \Vert \ge 0 \) であり、等号が成り立つのは \( g(s(A)) = 0 \) のとき、すなわち \( s(A) = 0 \)、したがって \( A = 0 \) の場合に限られる。
次に、斉次性は次のようにして得られる。
\Vert cA \Vert = g(s(cA)) = g(|c|s(A)) = |c| g(s(A)) = |c| \Vert A \Vert
最後に、三角不等式を満たすことを示す。任意の \( A, B \in \mathbb{M}_{m,n} \) に対し、次を計算する。
\Vert A + B \Vert = g(s(A + B)) \le g(s(A)) + g(s(B)) = \Vert A \Vert + \Vert B \Vert
この導出において、(α) では \( g \) がノルムであること、(β) では (5.5.10) の関係式、(γ) では (7.4.1.3(c)) の関係式をそれぞれ用いた。また、(4.3.52) と、ベクトル \( s(A + B), s(A), s(B) \) の成分が非負であることも利用している。
以上により、\( \Vert \cdot \Vert \) はノルムの公理をすべて満たすことが示された。
最後に、よく知られた例として、\(\mathbb{C}^n\) 上の対称ゲージ関数の族として \( \ell_p \) ノルム族（式 (5.2.4)）が挙げられる。これにより定義される \(\mathbb{M}_{m,n}\) 上のユニタリ不変ノルムはシャッテン \( p \)-ノルム（Schatten p-norm）として知られている。
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