7.4.5 ユニタリ・プロクルステス問題（Unitary Procrustes Problem）
\( A, B \in M_{m,n} \) とする。ここで問題とするのは、あるユニタリ行列 \( U \in M_m \) に対して、フロベニウスノルムの意味で「回転」\( UB \) によって \( A \) をどの程度よく近似できるかということである。この問題は、因子分析（factor analysis）において「ユニタリ・プロクルステス問題（unitary Procrustes problem）」として知られている。
任意のユニタリ行列 \( U \in M_m \) に対して、次の関係式が成り立つ。
\|A - UB\|_F^2
= \|A\|_F^2 - 2\,\mathrm{Re}\,\operatorname{tr}(AB^*U^*) + \|B\|_F^2
\ge \|A\|_F^2 - 2\sum_{i=1}^{m} \sigma_i(AB^*) + \|B\|_F^2
\quad (7.4.5.1)
この不等式が等号となるのは、\( AB^*U^* \) が半正定値行列である場合に限る。
\( AB^* = PU_0 \) が極分解（polar decomposition）であるとすると、\( AB^*U_0^* = P \) は半正定値行列であり、
\operatorname{tr}(AB^*U_0^*) = \operatorname{tr} P = \sum_{i=1}^{m} \sigma_i(AB^*)
したがって、このとき
\|A - U_0B\|_F^2
= \|A\|_F^2 - 2\,\operatorname{tr} P + \|B\|_F^2
となり、式 (7.4.5.1) における下限を達成する。
したがって、\( U_0B \) は \( A \) をユニタリ回転によって最小二乗近似する最良の行列であり、そのときの最小誤差は次の式で与えられる。
\|A - U_0B\|_F^2
= \|A\|_F^2 - 2\,\operatorname{tr} P + \|B\|_F^2
ここで、\( P \) は \( AB^* \) の極分解における半正定値因子である。
行列解析の総本山
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2025.08.05
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