[行列解析7.2.P23]

7.2.問題23

\( A, B \in M_n \) を正定値とする。行列

G(A,B) = A^{1/2} ( A^{-1/2} B A^{-1/2} )^{1/2} A^{1/2}

は \( A \) と \( B \) の幾何平均である。

(a) なぜ \( G(A,B) \) が正定値であるか説明せよ。

(b) \( A \) と \( B \) が可換なら、\( G(A,B) = A^{1/2} B^{1/2} = B^{1/2} A^{1/2} = G(B,A) \) であることを示せ。

(d) \( X A^{-1} X = B \) であることは \( X B^{-1} X = A \) であることと同値であり、従って \( G(A,B) = G(B,A) \) が成り立つことを示せ。

(e) \( G(A, \overline{A}) = G(A, A^T) \) は実行列であることを示せ。

(f) \( G(A, A^{-T}) = G(A, \overline{A}^{-1}) \) は複素直交かつ共役反転行列であることを示せ。