[行列解析7.2.P20]

7.2.問題20
- 7.2.P20　
行列解析の総本山

7.2.問題20

7.2.P20　

\( A, B \in M_n \) を正定値行列とする。定理 4.5.8 によれば、非特異な行列 \( S \in M_n \) が存在して \( A = S B S^* \) となる。

(a) \( S = A^{1/2} B^{-1/2} \) と選べることを示せ。この \( S \) は必ずしもエルミート行列である必要はない。
(b) \( S = B^{-1/2} (B^{1/2} A B^{1/2})^{1/2} B^{-1/2} \) とも選べ、この場合の \( S \) は正定値であることを示せ。
(c) (7.2.6a) を用いて、\( A = S B S^* \) を満たす正定値 \( S \) が一意で存在することを示せ。