7.2.問題14
7.2.P14
\( r \in \mathbb{C} \) を 0 でない複素数とし、対称テプリッツ行列（ガウス行列とも呼ばれる）
G(r,n) = [ r^{(i-j)^2} ]_{i,j=1}^{n} \in M_n
を考える。次の手順で \( D_n = \det G(r,n) \) を評価せよ：
(a) \( j = n, n-1, …, 2 \) に対して、列 \( j-1 \) を \( r^{2j-3} \) 倍して列 \( j \) から引くことで、位置 (1,2), …, (1,n) の要素を 0 にする。もし \(\min\{i,j\} \ge 2\) なら、位置 (i,j) の新しい要素は元の要素の \( 1 - r^{2(i-1)} \) 倍である。
(b) この消去操作を n-2 回繰り返し、下三角行列を得る。
(c) これにより \( D_n = \prod_{k=1}^{n-1} (1 - r^{2k}) D_{n-1} = \prod_{k=1}^{n-1} (1 - r^{2k})^{n-k} \) であることがわかる。
(d) \( n \ge 2 \) の場合、\( r \neq 0 \) かつ \( r \notin \{ z \in \mathbb{C} : z^{2k} = 1, k = 1, …, n-1 \} \) なら、\( G(r,n) \) は正則である。
(e) \( r \in (-1,1) \) かつ \( n \ge 2 \) の場合、(7.2.5) を用いて \( G(r,n) \) が正定値であることを示せ。
(f) 関数 \( f(t) = e^{-t^2} \) が \(\mathbb{R}\) 上の正定値関数であることを示せ。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
am-gm.com
2025.08.05
コメント