[行列解析7.1.P28]

7.1.問題28

これは (4.5.P21) の続きである。

\( A \in M_n \) を半正定値とし、次のように分割する：

A = \begin{bmatrix} B & C \\ C^* & D \end{bmatrix}

もし \(B\) が特異なら、通常のシュア補行列は作れないが、列包含性により一般化シュア補行列を作ることができる。

(a) \( C = BX \) とすると、次が成り立つ：

\begin{bmatrix} I & 0 \\ -X^* & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B & C \\ C^* & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & -X \\ 0 & I \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B & 0 \\ 0 & D - X^* B X \end{bmatrix}

(b) 列包含性により存在が保証される \(X\) は一意である必要はない。しかし、もし \(C = BY\) ならば、\(X^*BX = Y^*BY\) となるので、

\tilde{S} = D - X^* B X

は \(X\) の選択に依存せず定義できる。

(d) \(\tilde{S} = D - X^* B X\) が半正定値であり、かつ \(\mathrm{rank}\,A = \mathrm{rank}\,B + \mathrm{rank}\,\tilde{S}\) である理由を説明せよ。

(e) なぜ (d) の二つの主張を Haynsworth の定理の式 (4.5.28) の類似として考えることができるかを説明せよ。