[行列解析7.1.P1]

7.1.問題1

\( A = [a_{ij}] \in M_n \) が半正定値であるとする。すべての異なる \( i, j \in \{1, \dots, n\} \) に対して、なぜ次が成り立つのかを説明せよ。

a_{ii} a_{jj} \ge |a_{ij}|^2

さらに、\( A \) が正定値である場合、なぜすべての異なる \( i, j \) に対して次が成り立つのかを説明せよ。

a_{ii} a_{jj} \gt |a_{ij}|^2

また、ある異なる \( i, j \) の組について \( a_{ii} a_{jj} = |a_{ij}|^2 \) が成立する場合、なぜ \( A \) が特異行列（singular）であるのかを説明せよ。