[行列解析7.1.9]観察：半正定値行列と列包含・行包含の性質

7.1.9.観察：半正定値行列と列包含・行包含の性質
行列解析の総本山

7.1.9.観察：半正定値行列と列包含・行包含の性質

観察 7.1.9　\( A \in M_n \) をエルミート行列とする。このとき、次が成り立つ。
\( A \) が半正定値であることと、正定値行列の数列 \( A_1, A_2, \ldots \) が存在して \( k \to \infty \) のとき \( A_k \to A \) となることは同値である。

証明

もし \( A \) が半正定値であるなら、次のようにおくことができる。

A_k = A + k^{-1} I, \quad k = 1, 2, \ldots

逆に、各 \( A_k \) が正定値であり、かつ \( A_k \to A \)（\( k \to \infty \)）であるとする。このとき、任意の零でない \( x \in \mathbb{C}^n \) に対して、

x^{*} A_k x \gt 0 \quad (k = 1, 2, \ldots)

よって、極限をとると

\lim_{k \to \infty} x^{*} A_k x = x^{*} A x \ge 0

したがって \( A \) は半正定値である。

正定値および半正定値行列には、しばしば意外に思えるが重要な2つの性質がある。それらは行と列に関する包含性（row inclusion と column inclusion）であり、LU分解の議論（式 (3.5.3)）の中でも現れたものである。

\( A \in M_n \) を次のように分割する。

A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\[4pt] A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}

ここで \( A_{11} \in M_k \) とする。
すべての \( k \in \{1, \ldots, n - 1\} \) に対して、もし range\( (A_{12}) \subset \) range\( (A_{11}) \) が成り立つならば、\( A \) は列包含性（column inclusion property）をもつという。
また、\( A^{*} \) が列包含性をもつ場合、\( A \) は行包含性（row inclusion property）をもつという。

演習 1

\( A \in M_n \) を次のように分割する。

A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\[4pt] A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}

ここで \( A_{11} \in M_k \)、かつ \( k \in \{1, \ldots, n - 1\} \) とする。次の5つの条件が同値であることを説明せよ。

(a) \( A \) は列包含性をもつ。
(b) 各 \( k \in \{1, \ldots, n - 1\} \) に対して、nullspace\( (A_{11}^{*}) \subset \) nullspace\( (A_{12}^{*}) \)。
(c) 各 \( k \) に対して、\( A_{12} \) のすべての列は \( A_{11} \) の列の線形結合で表される。
(d) 各 \( k \) に対して、ある \( X \in M_{k, n - k} \) が存在して \( A_{12} = A_{11} X \) が成り立つ。
(e) 各 \( k \) に対して、rank\( [A_{11} \; A_{12}] = \) rank\( (A_{11}) \) が成り立つ。