[行列解析7.1]正定値と半正定値の定義と性質

目次
7.1　定義と性質（Definitions and Properties）
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- 記号の意味

7.1　定義と性質（Definitions and Properties）

エルミート行列 \( A \in M_n \) が正定値（positive definite）であるとは、次の条件を満たすときにいう。

x^{*} A x \gt 0 \quad \text{for all nonzero } x \in \mathbf{C}^{n}

同様に、\( A \) が半正定値（positive semidefinite）であるとは、次を満たすときにいう。

x^{*} A x \ge 0 \quad \text{for all nonzero } x \in \mathbf{C}^{n}

これらの定義には次の事実が暗に含まれている。すなわち、もし \( A \) がエルミート行列であれば、すべての \( x \in \mathbf{C}^{n} \) に対して \( x^{*} A x \) は実数である（式 (4.1.3) 参照）。逆に、もし \( A \in M_n \) であり、すべての \( x \in \mathbf{C}^{n} \) に対して \( x^{*} A x \) が実数であるならば、\( A \) はエルミート行列である。したがって、上記の定義で「\( A \) はエルミートである」と仮定することは慣例ではあるが、実際には不要である（式 (4.1.4) 参照）。

もちろん、もし \( A \) が正定値であれば、それは同時に半正定値でもある。この節では、(4.1) で始めたこれらの概念に関する議論を続ける。

演習問題

（1） \( M_1 \) における正定値行列および半正定値行列は何かを説明せよ。

（2） 次の行列が半正定値であるが、正定値ではないことを説明せよ。

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}

（3） \( A = [a_{ij}] \in M_n \) が正定値であるとき、\(\bar{A} = [\bar{a}_{ij}]\)、\(A^{T}\)、\(A^{*}\)、および \(A^{-1}\) がすべて正定値であることを説明せよ。

ヒント：もし \( A y = x \) ならば、\( x^{*} A^{-1} x = y^{*} A^{*} y \) である。

行列 \( A \in M_n \) に対して、(7.1.1a) および (7.1.1b) の不等式を反転させることで、負定値（negative definite）および負半定値（negative semidefinite）を定義できる。あるいは同値的に、\(-A\) がそれぞれ正定値または半正定値であるといってもよい。

もし \( A \) がエルミート行列であり、\( x^{*} A x \) が正の値と負の値の両方をとる場合、\( A \) は不定（indefinite）であるという。