6.3.2
\(A \in M_n\) が対角化可能であり、非特異行列 \(S\) を用いて \(A = S \Lambda S^{-1}\) と表されるとする。ここで \(\Lambda\) は対角行列である。また、\(E \in M_n\) とし、\(\| \cdot \|\) は \(\mathbb{C}^n\) 上の絶対ノルムにより誘導される行列ノルムとする。このとき、もし \(\hat{\lambda}\) が \(A + E\) の固有値であるならば、\(A\) の固有値 \(\lambda\) が存在して次が成り立つ。
|\hat{\lambda} - \lambda| \le \|S\| \, \|S^{-1}\| \, \|E\| = \kappa(S) \, \|E\|
ここで、\(\kappa(\cdot)\) は行列ノルム \(\| \cdot \|\) に関する条件数である。
証明
\(\hat{\lambda}\) が \(S^{-1}(A + E)S = \Lambda + S^{-1} E S\) の固有値であるとすると、\(\hat{\lambda} I - \Lambda - S^{-1} E S\) は特異である。もし \(\hat{\lambda}\) が \(A\) の固有値であるなら、不等式 (6.3.3) は自明に成り立つ。したがって、\(\hat{\lambda}\) が \(A\) の固有値でない場合を考える。このとき \(\hat{\lambda} I - \Lambda\) は非特異である。
この場合、次の式が成り立つ：
(\hat{\lambda} I - \Lambda)^{-1} (\hat{\lambda} I - \Lambda - S^{-1} E S)
= I - (\hat{\lambda} I - \Lambda)^{-1} S^{-1} E S
右辺が特異であるため、(5.6.16) より次が成り立つ：
\| (\hat{\lambda} I - \Lambda)^{-1} S^{-1} E S \| \ge 1
(5.6.36) を用いると次が得られる。
1 \le \| (\hat{\lambda} I - \Lambda)^{-1} S^{-1} E S \|
\le \| S^{-1} E S \| \, \| (\hat{\lambda} I - \Lambda)^{-1} \|
= \| S^{-1} E S \| \, \max_{1 \le i \le n} |\hat{\lambda} - \lambda_i|^{-1}
= \frac{ \| S^{-1} E S \| }{ \min_{1 \le i \le n} |\hat{\lambda} - \lambda_i| }
したがって、
\min_{1 \le i \le n} |\hat{\lambda} - \lambda_i|
\le \| S^{-1} E S \|
\le \| S^{-1} \| \, \| S \| \, \| E \|
= \kappa(S) \, \| E \|
これで定理が示された。
練習問題
(1) この定理の仮定を満たさない行列ノルムの例を挙げよ。
(2) ユニタリ行列がスペクトルノルムに関して条件数 1 を持つ理由を説明せよ。
考察
条件数 \(\kappa(\cdot)\) は、(5.8) で線形方程式の逆行列や解に関する事前誤差評価の文脈で登場したが、ここでは対角化可能な行列の固有値計算における誤差評価の文脈にも現れる。
\(\hat{\lambda}\) を摂動を受けた行列 \(A + E\) の厳密な固有値と考えると、(6.3.3) により、これを \(A\) の固有値 \(\lambda\) の近似値として用いたときの相対誤差は次を満たす。
\frac{|\hat{\lambda} - \lambda|}{\|E\|} \le \kappa(S)
ここで用いる行列ノルムは、絶対ベクトルノルムにより誘導される必要がある。行列 \(S\) の列は、\(A\) の一次独立な固有ベクトルの集合である。
もし \(\kappa(S)\) が小さい（1に近い）場合、データのわずかな摂動によって固有値もわずかしか変化しない。一方、\(\kappa(S)\) が非常に大きい場合、\(A + E\) の固有値は \(A\) の固有値の近似として不正確になる可能性がある。
特に \(A\) が正規行列である場合、\(S\) をユニタリ行列としてとることができ、ユニタリ行列の条件数はスペクトルノルムに関して 1 である。したがって、正規行列は固有値計算に関して良好に条件づけられているといえる。
行列解析の総本山
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