6.2.3
補題6.2.3. 行列 \(A = [a_{ij}] \in M_n\) に対して、\(\lambda, x\) が固有対（eigenpair）であり、\(\lambda\) が不等式 (6.2.2a) を満たすとする。このとき次が成り立つ。
(a) \(p \in \{1, \ldots, n\}\) であり、\(|x_p| = \lVert x \rVert_\infty\) のとき、\(|\lambda - a_{pp}| = R_p\) が成り立つ。すなわち、\(A\) の第 \(p\) ゲルシュゴリン円は \(\lambda\) を通る。
(b) \(p, q \in \{1, \ldots, n\}\) で \(|x_p| = \lVert x \rVert_\infty\)、かつ \(a_{pq} \ne 0\) のとき、\(|x_q| = \lVert x \rVert_\infty\) が成り立つ。
証明
\(|x_p| = \lVert x \rVert_\infty\) であると仮定する。このとき、(6.1.1a) より次が成り立つ。
|\lambda - a_{pp}| \lVert x \rVert_\infty
= |\lambda - a_{pp}| |x_p|
= \left| \sum_{j \ne p} a_{pj} x_j \right|
したがって、
|\lambda - a_{pp}| \lVert x \rVert_\infty
\le \sum_{j \ne p} |a_{pj}| |x_j|
\le \sum_{j \ne p} |a_{pj}| \lVert x \rVert_\infty
= R_p \lVert x \rVert_\infty
したがって \(|\lambda - a_{pp}| \le R_p\) である。しかしながら、(6.2.2a) の不等式により \(|\lambda - a_{pp}| \ge R_p\) でもある。したがって、
|\lambda - a_{pp}| = R_p
が成立し、(a) の主張が示される。したがって、(6.2.4) における2つの不等式はいずれも等号となる。すなわち、
|\lambda - a_{pp}| \lVert x \rVert_\infty
= \sum_{j \ne p} |a_{pj}| |x_j|
= \sum_{j \ne p} |a_{pj}| \lVert x \rVert_\infty
= R_p \lVert x \rVert_\infty
(b) の主張は、この等式の中心部分から直接導かれる。
\sum_{j \ne p} |a_{pj}| \bigl( \lVert x \rVert_\infty - |x_j| \bigr) = 0
各項は非負であるため、この和が 0 であるためには各項が 0 でなければならない。したがって、もし \(a_{pq} \ne 0\) ならば、 \(|x_q| = \lVert x \rVert_\infty\) が成り立つ。
この補題は一見すると技術的に見えるが、直ちに次の有用な結果およびその系を導くことができる。
行列解析の総本山
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