6.1.問題17
6.1.P17
この問題はゲルシュゴリンの定理をブロック行列に拡張するものである。
まず前提を説明する。
与えられた行列ノルム \( \!\!\;|\!|\!|\cdot|\!|\! \!\)（以下単に \( \!\;|\!|\cdot|\!|\! \) と書くこともある）を \(M_m\) に対して固定し，\(M_{mn}\) 上の対応するノルム \(N(\cdot)\) を (5.6.P55) の定義に従って用いる。
任意のブロック行列 \(A=[A_{ij}]_{i,j=1}^n \in M_{mn}\) について，次を定義する：
R_i = \sum_{j\ne i} \,\!\;|\!|\!| A_{ij} |\!|\!|\quad (i=1,\dots,n).
また \(D = A_{11}\oplus\cdots\oplus A_{nn}\) とする。
(a) \(z\in\mathbb{C}\) が \(D\) の固有値でないとき，次の因子分解が成り立つことを説明せよ：
zI - A = (zI - D)\bigl(I - (zI - D)^{-1}(A-D)\bigr).
続いて (5.6.16) に続く演習の議論を用いて，もし \(N((zI-D)^{-1}(A-D))\lt 1\) ならば \(z\) は \(A\) の固有値でないことを結論できることを示せ。また
N((zI-D)^{-1}(A-D)) \le \max_{1\le i\le n} \bigl( \!\;|\!|\!| (zI - A_{ii})^{-1} |\!|\!|\; R_i \bigr).
(b) \(z\in\mathbb{C}\) が任意の \(A_{ii}\) の固有値でなく，かつ各 \(i\) について \(\!\;|\!|\!|(zI-A_{ii})^{-1}|\!|\!|\;^{-1} \gt R_i\) が成り立つとき，\(z\) は \(A\) の固有値でないことを説明せよ。
(c) 以上より，任意の固有値は次の集合に含まれることを説明せよ：
\bigcup_{i=1}^n \sigma(A_{ii}) \cup
\bigcup_{i=1}^n \left\{
z\in\mathbb{C}:
\begin{aligned}
& z\notin\sigma(A_{ii}),\\ & \!| \!| \!| (zI-A_{ii})^{-1} \!| \!| \!|^{-1} \le R_i
\end{aligned}
\right\}
この包含集合を (6.1.13) とする。
(d) 我々は行列ノルム \( \!\;|\!|\cdot|\!|\! \) に関してブロック厳密対角優位（block strictly diagonally dominant）であるとは，各対角ブロック \(A_{ii}\) が正則で，かつ \(\!\;|\!|\!|A_{ii}^{-1}|\!|\!|\;^{-1} \gt R_i\) が各 \(i\) で成り立つことをいう。
このとき (6.1.13) を用いて，そのようなノルムが存在すれば \(A\) は非特異であることを示せ。
(e) \(m=1\) の場合，ブロック厳密対角優位とは何に相当するかを述べよ。
この場合 (6.1.13) と (6.1.2) の集合は一致することを示し，そのときの (6.1.13) の導出を詳述して，本文とは異なるゲルシュゴリン定理の証明を得よ。
(f) ここで \( \!\;|\!|\cdot|\!|\! \) を \(M_m\) 上のスペクトルノルム（演算子2-ノルム）とし，各対角ブロック \(A_{ii}\) が正規（normal）で，\(\sigma(A_{ii})=\{\lambda^{(i)}_1,\dots,\lambda^{(i)}_m\}\) を固有値集合とする。このとき包含集合 (6.1.13) は次の円の和集合に表せることを示せ：
\bigcup_{i=1}^n \bigcup_{j=1}^m \left\{\, z\in\mathbb{C} : |z - \lambda^{(i)}_j| \le \sum_{k\ne i} \!\;|\!|\!| A_{ik} |\!|\!|_2 \,\right\}
これを (6.1.14) として示せ。\(m=1\) のときはこの集合が通常のゲルシュゴリン円板集合に対応する。
(g) 例を示す。
\(m=n=2\) として，次のブロックを取る：
A_{11}=A_{22}=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}, \\
A_{12}=A_{21}^T=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0.5 & 0\end{pmatrix}
このとき \(A=[A_{ij}]_{i,j=1}^2\) は（ブロック単位で見れば）対角優位であるため非特異だが，通常の要素ごとの対角優位性は満たさない。最大列和ノルム（maximum column-sum norm）を用いてブロック対角優位性を確認せよ。さらに (6.1.2) を用いると，固有値は区間 \([-1.5,\,1.5]\) に含まれる。一方 (6.1.14) を適用すると小さい包含集合 \([-1.5,-0.5]\cup[0.5,1.5]\) を得る。実際の固有値はおよそ \(\pm 1.2808\) と \(\pm 0.7808\) である。
行列解析の総本山
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