6.1.11
本節では、行列の対角優位性に基づく非特異性の条件をさらに一般化する定理を述べる。この結果は、ゲルシュゴリンの円板定理とその変形に関連し、固有値が取りうる範囲の幾何的な理解に寄与する。
定理 6.1.11 \( A = [a_{ij}] \in M_n \) が非零の対角成分をもつと仮定する。もし \( A \) が対角優位であり、少なくとも \( n - 1 \) 個の \( i \in \{1, \ldots, n\} \) に対して
|a_{ii}| \gt R_i
が成り立つなら、\( A \) は非特異である。
証明. ある \( k \) に対して、すべての \( i \ne k \) について \( |a_{ii}| \gt R_i \)、また \( |a_{kk}| \ge R_k \) が成り立つとする。もし \( |a_{kk}| \gt R_k \) ならば、定理 (6.1.10) により \( A \) の非特異性が従う。したがって以下では \( |a_{kk}| = R_k \gt 0 \) の場合を考える。
式 (6.1.6) において、すべての \( i \ne k \) に対して \( p_i = 1 \)、および \( p_k = 1 + \epsilon \) （ただし \( \epsilon \gt 0 \)）とする。このとき次が成り立つ。
\frac{1}{p_k} \sum_{j \ne k} p_j |a_{kj}|
= \frac{1}{1 + \epsilon} R_k
\lt |a_{kk}| \quad (\text{任意の } \epsilon \gt 0)
また、すべての \( i \ne k \) に対して次が成り立つ。
\frac{1}{p_i} \sum_{j \ne i} p_j |a_{ij}|
= R_i + \epsilon |a_{ik}|
すべての \( i \ne k \) について \( R_i \lt |a_{ii}| \) が成り立つため、十分に小さい \( \epsilon \gt 0 \) を選べば
R_i + \epsilon |a_{ik}| \lt |a_{ii}|
がすべての \( i \ne k \) について成り立つ。このとき、式 (6.1.6) より点 \( z = 0 \) は \( G(D^{-1}AD) \) に含まれない。したがって \( A \) は非特異である。
ゲルシュゴリンの定理およびその変形は、行列 \( A \) の固有値が存在しうる領域を、対角成分および非対角成分の絶対値のみを用いて定める包含集合として与える。ここで、\( S^{-1}AS \) が \( A \) と同じ固有値をもつという事実を用いることで、次の式に至る。
\bigcup_{D = \mathrm{diag}(p_1, \ldots, p_n),\, p_i \gt 0} G(D^{-1} A D)
\quad \text{は } A \in M_n \text{ の固有値を含む。}
もし対角行列に限らないより一般的な相似変換を許すなら、固有値の包含集合をさらに小さくできる可能性がある。しかし、対角相似に限定し、主対角成分および非対角成分の絶対値のみを用いる場合、これ以上小さい集合を得ることはできない。その理由は次の通りである。
任意の点 \( z \) を式 (6.1.12) の境界上に取ると、R. Varga により、次の性質をもつ行列 \( B = [b_{ij}] \in M_n \) が存在することが示されている。
z \text{ は } B \text{ の固有値であり}, \quad
b_{ii} = a_{ii}, \quad
|b_{ij}| = |a_{ij}| \quad (i, j = 1, \ldots, n)
したがって、式 (6.1.12) により与えられるゲルシュゴリン型の包含集合は、対角相似変換の範囲内では最良のものであるといえる。
行列解析の総本山
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