[行列解析5.8.P1]

5.8.問題1

5.8.P1

\(A \in M_n\) が正則かつ正規行列であるとする。

スペクトルノルムに関して逆行列の条件数がなぜ \( \kappa(A)=\rho(A)\,\rho(A^{-1}) \) になるかを説明しなさい。

解説メモ：正規行列ではスペクトルノルム（2-ノルム）は最大特異値が最大絶対固有値に等しく、最小特異値が最小絶対固有値に等しいため、\(\|A\|_2=\rho(A)\) および \(\|A^{-1}\|_2=\rho(A^{-1})\) となり、定義 \(\kappa(A)=\|A\|_2\|A^{-1}\|_2\) から結論が得られます。