[行列解析5.7.P26]

5.7.問題26

数値半径は、全ての \(A \in M_n\) および \(m = 1, 2, \dots\) に対してべき不等式 \(r(A^m) \le r(A)^m\) を満たしますが、べき積不等式

r(A^{k+m}) \le r(A^k) r(A^m)

は必ずしも成り立ちません。例として \(A = J_4(0)\)、\(k = 1\)、\(m = 2\) を考えます。この場合：

r(A^2) = r(A^3) = \frac{1}{2}, \quad r(A) \lt 1

となり、べき積不等式が成立しないことが確認できます。