5.7.16
補題 5.7.16. \(G(\cdot)\) を \(M_n\) 上のベクトルノルムとし、(5.7.15) を満たすと仮定する。このとき、有限で正の定数 \(\gamma(G)\) が存在して、すべての \(A_1, A_2, \ldots, A_k \in M_n\) および任意の \(k = 1, 2, \ldots\) に対して次が成り立つ。
G(A_{1}) \cdots G(A_{k}) \geq \gamma(G) \, \| A_{1}\cdots A_{k} \|_{2}
証明
正の整数 \(k\) を固定し、\(A_{1}, \ldots, A_{k} \in M_{n}\) を与える。ここで次の特異値分解を考える：
A_{1}\cdots A_{k} = V \Sigma W^{*}
仮定より、(5.7.15) を適用すると次が得られる：
G(V^{*}) \, G(A_{1}) \cdots G(A_{k}) \, G(W) \geq \rho(V^{*}A_{1}\cdots A_{k}W)
ここで \(\rho(\cdot)\) はスペクトル半径を表す。右辺は次のように変形できる：
\rho(V^{*}A_{1}\cdots A_{k}W) = \rho(\Sigma) = \|\Sigma\|_{2}
= \|V^{*}A_{1}\cdots A_{k}W\|_{2} = \|A_{1}\cdots A_{k}\|_{2}
最後の等号はスペクトルノルムのユニタリ不変性から従う。さらに \(G(\cdot)\) はユニタリ行列のコンパクト集合上で連続なので、次を定めることができる：
\mu(G) = \max \{ G(U) : U \in M_{n} \text{ はユニタリ行列} \}
これは有限かつ正である。したがって次が成立する：
G(A_{1}) \cdots G(A_{k}) \geq \frac{1}{G(V^{*}) G(W)} \, \|A_{1}\cdots A_{k}\|_{2}
\geq \mu(G)^{-2} \, \|A_{1}\cdots A_{k}\|_{2}
以上により、補題の主張が示された。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
am-gm.com
2025.08.05
コメント