5.7.13
定理 5.7.13. \(\| \cdot \|\) が \(M_n\) 上の行列ノルムであるならば、それと両立する \(\mathbb{C}^n\) 上のノルムが存在する。また、\(\mathbb{C}^n\) 上のノルム \(\| \cdot \|\) が与えられたとき、それと両立する \(M_n\) 上の行列ノルムが存在する。
証明.
(5.6.27)
\lVert x \rVert_{z} = \lVert xz^{*} \rVert \quad \text{for any} \; x \in \mathbb{C}^n
任意のゼロでないベクトル \(z\) に対して、(5.6.27) で定義されたノルム \(\|\cdot\|_z\) は与えられた行列ノルム \(\|\cdot\|\) と両立している：
\|Ax\|_z = \| \,|Axz^{*}| \,\| \leq \|A\| \, \|xz^{*}\| = \|A\| \, \|x\|_z
また、任意に与えられた \(\mathbb{C}^n\) 上のノルムは、それが誘導する \(M_n\) 上の行列ノルム（5.6.2(b)）と両立している。
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2025.08.05
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