5.7.問題集
5.7.P1.
\(M_n\) 上のベクトルノルム \(G(\cdot)\) と、0でない \(z \in \mathbb{C}^n\) が与えられている。このとき、関数
\|x\| = G(x z^*)
が \(\mathbb{C}^n\) 上のノルムであることを示せ。さらに、\(z = e\) または \(z = e_1\) の場合、この関数はどのようになるか考察せよ。
5.7.P2.
\(M_n\) 上のベクトルノルム \(G(\cdot)\) と \(A \in M_n\)、\(\epsilon > 0\) が与えられたとき、正の定数 \(K(\epsilon, A)\) が存在して、すべての \(k > K(\epsilon, A)\) に対して
(\rho(A) - \epsilon)^k \le G(A^k) \le (\rho(A) + \epsilon)^k
が成り立つことを示せ。
5.7.P3.
\(M_n\) 上のベクトルノルム \(G(\cdot)\) と \(A \in M_n\) が与えられたとき、次を示せ：
(a) 前問を用いて、\(\rho(A) \lt 1\) なら \(G(A^k) \to 0\) が \(k \to \infty\) で成り立つことを示せ。収束の速度は？
(b) 逆に、\(G(A^k) \to 0\) が \(k \to \infty\) で成り立つなら、\(\rho(A) \lt 1\) であることを示せ。
(c) ベクトルノルムを用いた行列のべき級数の収束について何が言えるか考察せよ。
5.7.P4.
\(M_n\) 上のベクトルノルム \(G(\cdot)\) を用いて、関数 \(G' : M_n \to \mathbb{R}\) を
G'(A) = \max_{G(B)=1} G(AB)
で定義する。このとき \(G'(\cdot)\) が単位元を持つ行列ノルムであることを示せ。また、\(G(I) = 1\) のとき、すべての \(A \in M_n\) に対して \(G'(A) \ge G(A)\) が成り立つことを示せ。
次の4問は (5.7.P4) の記法と仮定を継続して用いる。
5.7.P5.
\(G(\cdot)\) が行列ノルムであるとき、すべての \(A \in M_n\) に対して \(G'(A) \le G(A)\) であることを示せ。また、\(G(I) = 1\) の場合は \(G'(\cdot) = G(\cdot)\) となることを示せ。
5.7.P6.
\(G''(A) = \max_{G'(B)=1} G'(AB)\) と定義する。このとき \(G''(\cdot) = G'(\cdot)\) であることを示せ。
5.7.P7.
\(G(I) = 1\) のとき、\(G(\cdot)\) が行列ノルムであることと、すべての \(A \in M_n\) に対して \(G'(A) \le G(A)\) が成り立つことは同値であることを示せ。
5.7.P8
定義 (5.7.P4) における \(A\) と \(B\) の出現順を入れ替えて定義した関数も別の行列ノルムを与えることを示し、具体例でそれが元の \(G(\cdot)\) と異なり得ることを示してください。
解説メモ：元の定義で行列の行・列方向に依存するようなノルム構成をしている場合、行列の役割を入れ替えることで別のノルムが得られます。具体例としては行列の行ノルムと列ノルムを組み合わせている構成で、入れ替えにより異なる値を取る例を示せます（実際の数値を持つ簡単な 2×2 行列での計算を添えると分かりやすいです）。
5.7.P9
与えられた \(M_n\) 上のノルムと整合する \( \mathbb{C}^n \) 上のすべてのベクトル・セミノルムの集合が凸集合であることを示してください。実際にはこれは凸錐（convex cone）であることを示します。
解説メモ：整合性条件は線形不等式（例えば \( \|Ax\|_{vn} \le \|A\|_{mn} \|x\|_{vn} \) の形）で表されるため、その満たす集合は凸性を保ちます。スカラーの非負倍にも閉じているため凸錐になります。
5.7.P10
数値半径 \(r(\cdot)\) が \(M_n\) 上の行列ノルムでないことを、式 (5.7.4) に現れる行列を用いて \(r(AB)\) と \(r(A)r(B)\) を比較することで示してください。
解説メモ：ノルムであれば \(r(AB) \le r(A) r(B)\) が成り立つはずですが、数値半径はこの乗法不等式を満たさない例（教科書の (5.7.4) に相当する簡単な上三角またはシフト行列など）を示すことで反例を与えます。
5.7.P11
(a) \(r(J_2(0)) = \tfrac{1}{2}\) を示してください。 (b) なぜ数値半径は任意の \( \mathbb{C}^n \) 上のノルムと整合し得ないのか説明してください。 (c) 任意の \(A \in M_n\) について、そのスペクトルは値域（field of values）に含まれることを示してください。 (d) 数値半径がスペクトル支配的（spectrally dominant）である理由を説明してください。
解説メモ：（a）は \(J_2(0)\) の値域を直接計算するか、定義 \(r(A)=\max_{\|x\|_2=1} |x^* A x|\) を使って求めます。（b）は (a) の事実や互換性の定義から導かれる矛盾を用います。（c）は固有値に対応する固有ベクトルを値域内の点として評価することで示せます。（d）は値域にスペクトルが含まれることから数値半径がスペクトル半径以上を抑える（あるいは同等の）性質を持つことを説明します。
5.7.P12
なぜ \( \mathbb{C}^n \) 上のどのノルムも \(M_n\) 上のノルム \( \| \cdot \|_\infty \) と整合しないのかを説明し、ただし \(n \| \cdot \|_\infty\) とは整合するノルムが存在することを示してください。
解説メモ：\(\|\cdot\|_\infty\) に対して整合するには行ベクトル・列ベクトルの扱いに関するある不等式が成り立つ必要がありますが、標準的なベクトルノルムの選び方ではその不等式を満たさないことが示せます。係数 \(n\) を掛けることで定数因子を調整し得る例を示します。
5.7.P13
\(A=[a_{ij}]\in M_{m,n}\) として行ベクトル \(r_i(A) = [a_{i1}\ \dots\ a_{in}]^T\)、列ベクトル \(c_j(A)=[a_{1j}\ \dots\ a_{mj}]^T\) を定義し、\( \|\cdot\|_\alpha\)（\( \mathbb{C}^n\) 上のノルム）と \( \|\cdot\|_\beta\)（\( \mathbb{C}^m\) 上のノルム）を与えます。次を定義します：
G_{\beta,\alpha}(A) = \|[ \|r_1(A)\|_\alpha \ \dots\ \|r_m(A)\|_\alpha ]^T\|_\beta
および
G_{\alpha,\beta}(A) = \|[ \|c_1(A)\|_\beta \ \dots\ \|c_n(A)\|_\beta ]^T\|_\alpha
これら \(G_{\beta,\alpha}(\cdot)\) と \(G_{\alpha,\beta}(\cdot)\) はそれぞれ \(M_{m,n}\) 上のノルムであることを示してください。ただし \(G_{\beta,\alpha}(\cdot)\) と \(G_{\alpha,\beta}(\cdot)\) が常に同一であるとは限りません。
解説メモ：ノルム性（正定性、斉次性、三角不等式）は各成分のノルムに対する性質と合成ノルムの性質から示せます。行・列の扱いを入れ替えることで一般に値が異なることを簡単な例で示します。
5.7.P14
前問の \(G_{\beta,\alpha}(\cdot)\) を (5.6.P4) で定義したノルム \(\|\cdot\|_{\alpha,\beta}\) と比較し、たとえ \(m=n\) でかつ \(\|\cdot\|_\alpha=\|\cdot\|_\beta\) であっても、\(G_{\beta,\alpha}(\cdot)\) が常に行列ノルム（すなわち乗法不等式を満たす）とは限らないことを例で示してください。
5.7.P15
(5.7.P13) のノルムについて考えます。
(a) もし \(\|\cdot\|_\alpha=\|\cdot\|_2=\|\cdot\|_\beta\) ならば、\(G_{\beta,\alpha}(\cdot)\) はどのノルムに対応するか？ \(G_{\alpha,\beta}(\cdot)\) はどうなるか？
(b) もし \(\|\cdot\|_\alpha=\|\cdot\|_1\) かつ \(\|\cdot\|_\beta=\|\cdot\|_\infty\) ならば、\(G_{\beta,\alpha}(\cdot)\)、\(G_{\alpha,\beta}(\cdot)\) はそれぞれどのようなノルムになるかを示してください。
解説メモ：（a）二乗ノルム（ユークリッドノルム）を用いると、行ごとの 2-ノルムのベクトルに対してさらに 2-ノルムを取る操作は行列のフロベニウスノルム（または対応する合成ノルム）に等しくなります。（b）1-ノルムと∞-ノルムの組合せでは、行・列の集約の仕方により最大行和や最大列和など既知のノルムに対応する場合があります。具体的な定義式に代入して確認してください。
5.7.P16
\(n\ge 2\) とし、\(G(\cdot)\) を相似不変（similarity invariant）な Mn 上のセミノルム、つまり任意の正則 \(S\) について \(G(S A S^{-1})=G(A)\) を満たすものとします。以下を示してください。
(a) 任意の冪零行列 \(N\in M_n\) に対して \(G(N)=0\) を示し、したがって \(G(\cdot)\) はノルムになり得ないことを結論付けてください。
(b) 任意の \(A\in M_n\) について \(G(A)=n^{-1} G(I_n)\, | \mathrm{tr}\,A |\) が成り立つことを示してください。
解説メモ：相似不変性よりジョルダン標準形など冪零部分に対する値は 0 であること、さらにトレースに依存する形に制約されることを示し、(b) の比例関係を導きます。
5.7.P17
\(G(\cdot)\) が \(M_n\) 上のノルムであるとき、スペクトル特性（spectral characteristic）を
m(G) = \max_{G(A)\le 1} \rho(A)
と定義します。次を示してください：\(G(\cdot)\) がスペクトル支配的（spectrally dominant）であることと \(m(G)\le 1\) であることは同値です。また、任意の行列ノルム \(G(\cdot)\) は定数倍によりスペクトル支配的なノルムに変換でき、その最小の定数は \(m(G)\) であること。さらに、\(m(G)=1\) のとき \(G(\cdot)\) を「最小限にスペクトル支配的」であるという定義に一致します。
解説メモ：定義から直接に導けます。もし \(m(G)\le 1\) ならば \(G(A)\le 1\) が \(\rho(A)\le 1\) を意味し、スペクトル支配的性質を満たします。逆も同様です。定数倍で境界を調整する考え方を示します。
5.7.P18
もし \(G(\cdot)\) が単位元を 1 にする（unital）ノルムであるならば、なぜ \(m(G)\ge 1\) か説明してください。さらに、Mn 上のスペクトル支配的な単位元ノルムはなぜ最小限にスペクトル支配的であるかを説明してください。誘導される任意の行列ノルム（induced matrix norm）が最小限にスペクトル支配的である理由、そして数値半径が最小限にスペクトル支配的である理由も説明してください。
解説メモ：単位行列 \(I\) に対して \(G(I)=1\) ならば、スペクトル半径 \(\rho(I)=1\) から最大のスペクトル特性は少なくとも 1 になることが直ちに分かります。誘導ノルムや数値半径が最小限にスペクトル支配的である理由は、それらが単位行列の評価とスペクトル半径・値域の関係により \(m(G)=1\) を満たすためです。
5.7.P19
行列集合 \(M_n\) 上のノルムの円錐に対して、スペクトル特性が凸関数であることを示し、これにより \(M_n\) 上のスペクトル支配ノルム全体の集合が凸であることを導きます。
5.7.P20
行列集合 \(M_n\) 上の数値半径関数 \(r(\cdot)\) に関する次の主張を証明します：
(a) \(r(\cdot)\) はユニタリ不変ではありませんが、ユニタリ相似不変です：\(U \in M_n\) がユニタリ行列のとき、\(r(U^\ast A U) = r(A)\) が成り立ちます。
(b) 任意の \(A \in M_n\) に対して、
r(A) = max_{x, \|x\|_2=1} |x^\ast A x| \le max_{x, \|x\|_2=1} \frac{\|Ax\|_2}{\|x\|_2} = \|A\|_2
であり、\(A\) が正規行列のとき、\(r(A) = \rho(A) = \|A\|_2\) が成り立ちます。さらに、\(r(A) \lt \|A\|_2\) となる \(A \in M_n\) の例を示す必要があります。
(c) 任意の \(A \in M_n\) に対して、\(r(A) = r(A^\ast)\) が成り立ちます。
(d) 任意の \(A \in M_n\) に対して、\(\|A\|_2 \le 2 r(A)\) が成り立ちます。
(e) 以下の不等式は鋭い（最適）です：
\frac{1}{2} \|A\|_2 \le r(A) \le \|A\|_2
5.7.P21
不等式 (5.7.21) および (5.7.11) を用いて、\(4 r(\cdot)\) が \(M_n\) 上の行列ノルムであることを示します。行列 \(A = J_2(0)\)、\(A^\ast\)、および \(AA^\ast\) を考慮し、任意の \(\gamma \in (0,4)\) に対して \(\gamma r(\cdot)\) が行列ノルムにならないことを示します。
5.7.P22
不等式 (5.7.21) および (5.6.P23) の
\frac{1}{\sqrt{n}} \|A\|_2 \le \|A\|_2 \le \|A\|_2
から、次が成り立つことを導きます：
\frac{1}{2 \sqrt{n}} \|A\|_2 \le r(A) \le \|A\|_2
上界が鋭いことを示し、下記の例を確認します：
- \(A = J_2(0)\) は (5.7.21) の下界における等号の例
- \(A = I\) は (5.7.22) の下界における等号の例
- \(A = E_{11}\) は (5.7.21) および (5.7.22) の上界における等号の例
これにより、(5.7.23) の上界が鋭いことが示され、等号となる例も示すことができます。一方、下界は鋭くありません。全ての \(A \in M_n\) に対して、有限の最大正定定数 \(c_n\) が存在して \(c_n \|A\|_2 \le r(A)\) が成り立ちます。既知の値は、偶数 \(n\) の場合 \(c_n = (2n)^{-1/2}\)、奇数 \(n\) の場合 \(c_n = (2n-1)^{-1/2}\) です。偶数の場合、等号となる行列は \(|\alpha| = r(A)\) を満たす \(\alpha J_2(0)\) の直接和にユニタリ相似なものです。奇数の場合は、1×1 の直接和 [α] も含める必要があります。
5.7.P23
\(x \in \mathbb{C}^n\) と \(X = x x^\ast\) （エルミートのランク1行列）のとき、次が成り立つことを示します：
\|X\|_2 = \|x\|_2^2
さらに、\(A \in M_n\) の値域は、単位ノルムのランク1エルミート行列へのフロベニウス内積による射影の集合であることを示します。これにより：
r(A) = \max \{ | \langle A, X \rangle_F | : X \text{ はランク1エルミート行列}, \|X\|_2 = 1 \} \le \|A\|_2
が成り立つことを示せます。
5.7.P24
数値半径は、自然な近似問題に関連します。任意の \(A \in M_n\) に対して、ランク1エルミート行列のスカラー倍でフロベニウスノルムにおける最小二乗近似を行う場合を考えます。\(c \in \mathbb{C}\)、\(x \in \mathbb{C}^n\)、\(\|x\|_2 = 1\) とすると：
\|A - c x x^\ast\|_2^2 \ge \|A\|_2^2 - 2 |c \langle A, x x^\ast \rangle_F| + |c|^2
が成り立ち、最小化は次の場合に達成されます：
c = \langle A, \tilde{x} \tilde{x}^\ast \rangle_F
ここで \(\tilde{x}\) は、\(r(A) = |\tilde{x}^\ast A \tilde{x}|\) を満たす単位ベクトルです。結論として：
\|A - r(A) \tilde{x} \tilde{x}^\ast\|_2 \le \|A - c x x^\ast\|_2 \quad \text{任意の } c \in \mathbb{C}, \|x\|_2 = 1
5.7.P25
数値半径 \(r(\cdot)\) はスペクトル支配的であり、弱いべき不等式 (5.7.20a) を満たします。この問題の目的は、実際には全ての \(m = 1, 2, \dots\) および全ての \(A \in M_n\) に対して強いべき不等式
r(A^m) \le r(A)^m
が成り立つことを示すことです。
(a) なぜ次を証明すれば十分か：もし \(r(A) \le 1\) ならば、全ての \(m = 1, 2, \dots\) に対して \(r(A^m) \le 1\) となること。
(b) 正の整数 \(m \ge 2\) を固定し、\({w_k} = \{ e^{2\pi i k/m} \}_{k=1}^{m}\) を m 次の単位根の集合とします。注意すべきは、\({w_k}\) が有限乗法群を成し、任意の \(j = 1, 2, \dots, m\) に対して \({w_j w_k}_{k=1}^{m} = {w_k}_{k=1}^{m}\) が成り立つことです。次の恒等式を観察します：
1 - z^m = \prod_{k=1}^{m} (1 - w_k z)
さらに、次を示します：
p(z) = \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} \prod_{k \neq j} (1 - w_k z) = 1 \quad \text{任意の } z \in \mathbb{C}
(c) 次を示します：
I - A^m = \prod_{k=1}^{m} (I - w_k A), \quad
I = \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} \prod_{k \neq j} (I - w_k A)
(d) 任意の単位ベクトル \(x \in \mathbb{C}^n\), \(\|x\|_2 = 1\) および任意の \(A \in M_n\) に対して、次の恒等式を確認します：
1 - x^* A^m x = x^* (I - A^m) x
= \left( \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} z_j \right)^* \left( \prod_{k \neq j} (I - w_k A) x \right) \\
= \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} z_j^* (I - w_j A) z_j, \quad
z_j = \prod_{k \neq j} (I - w_k A) x
(e) 先の恒等式で \(A\) を \(e^{i \theta} A\) に置き換えると：
1 - e^{i m \theta} x^* A^m x = \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} z_j^* (I - e^{i \theta} w_j A) z_j
任意の実数 \(\theta\) に対して、もし \(r(A) \le 1\) なら右辺の実部は非負であり、よって左辺の実部も非負になります。θが任意であるため、\(|x^* A^m x| \le 1\) が成り立ち、結果として \(r(A^m) \le 1\) となります。
5.7.P26
数値半径は、全ての \(A \in M_n\) および \(m = 1, 2, \dots\) に対してべき不等式 \(r(A^m) \le r(A)^m\) を満たしますが、べき積不等式
r(A^{k+m}) \le r(A^k) r(A^m)
は必ずしも成り立ちません。例として \(A = J_4(0)\)、\(k = 1\)、\(m = 2\) を考えます。この場合：
r(A^2) = r(A^3) = \frac{1}{2}, \quad r(A) \lt 1
となり、べき積不等式が成立しないことが確認できます。
行列解析の総本山
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