5.6.問題9
5.6.P9
任意の \( n \geq 1 \) に対して、\(\mathbb{C}^n\) 上のノルムの集合は凸集合であることを示せ。しかし、任意の \( n \geq 2 \) に対して、\( M_n \) 上の行列ノルムの集合は凸集合ではない。もし \( N_1(\cdot), N_2(\cdot) \) が \( M_n \) 上の行列ノルムならば、
N(\cdot) = \tfrac{1}{2} (N_1(\cdot) + N_2(\cdot))
が行列ノルムとなるのは、任意の \( A,B \in M_n \) に対して次が成り立つ場合に限る。
(N_1(A) - N_2(A))(N_1(B) - N_2(B)) \\ \leq 2(N_1(A)N_1(B) - N_1(AB)) \\ \quad \quad + 2(N_2(A)N_2(B) - N_2(AB))
ユニタリ不変な行列ノルムの集合が凸であることの証明については (7.4.10.2) を参照せよ。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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