[行列解析5.6.P46]

5.6.問題46

\(A \in M_n\) が非特異であり、行列ノルム \(\| \cdot \|\) がベクトルノルム \(\|\cdot\|\) から誘導される場合、次を示せ：

\|A^{-1}\| = \frac{1}{\min_{\|x\|=1} \|Ax\|}

以下の五つの問題では、\(\| \cdot \|\) は \(M_n\) 上の行列ノルム、\(S_n = \{X : X \in M_n \text{ かつ } X \text{ は特異}\}\) とし、与えられた \(A \in M_n\) に対して

\mathrm{dist}_{\|\cdot\|}(A, S_n) \\= \inf \{\|A - B\| : B \in S_n\}

を \(A\) から \(M_n\) の特異行列集合への距離とする。これが \(\|A^{-1}\|\) と密接に関係していることを示す。