[行列解析5.6.P41]

5.6.問題41

\( \|\cdot\| \) を \(C_n\) 上の絶対ノルムとし、それによって誘導される \(M_n\) 上の行列ノルムを \(\|\cdot\|\) とする。さらに

N(A) = \||A|\|

と定義する。

(a) すべての \(A \in M_n\) について \(\|A\| \le N(A)\) が成り立ち、非負成分を持つベクトル \(z\) で \(\|z\| = 1\) かつ \(N(A) = \||A| z\|\) となるものが存在することを示せ。

(b) \(N(\cdot)\) は \(M_n\) 上の絶対行列ノルムであることを示せ。

(c) \(A,B \in M_n\) が実数かつ非負の要素を持ち、\(A \le B\) ならば \(\|A\| \le \|B\|\) であることを示せ。

(d) \(\| \cdot \|\) がスペクトルノルム \(\| \cdot \|_2\) の場合、すべての \(A \in M_n\) について

\|A\|_2 \le \||A|\|_2 \le \sqrt{\text{rank} A} \|A\|_2

が成り立ち、さらに \(A,B\) が実数かつ非負の要素を持ち \(A \le B\) ならば \(\|A\|_2 \le \|B\|_2\) であることを示せ。