[行列解析5.6.P39]

5.6.問題39

5.6.P39

前問の結果はスペクトルノルムの場合にさらに改善できる。スペクトル行列とは、スペクトルノルムとスペクトル半径が等しい行列である。

(a) \(U \in M_n\) がユニタリ行列で \(\alpha \in \mathbb{C}\) の場合、なぜ \(\alpha U\) がスペクトルであるかを説明せよ。

(b) \(A \in M_n\) がユニタリ行列のスカラー倍でない場合、ユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在して \(U^* A U = \|A\|_2 (B \oplus C)\) となることを示せ。ここで \(B=[b_{ij}]\) は上三角行列、\(\|B\|_2 \lt 1\)、すべての \(|b_{ii}| \lt 1\)、\(C\) は対角ユニタリ行列である。さらに、スペクトル行列の最大絶対値の固有値が半単純かつ正規であることを説明せよ。

(c) \(A,B \in M_n\) がスペクトル行列の場合、\(\rho(AB) \le \rho(A)\rho(B)\) であることを示せ。