5.6.問題23
5.6.P23
以下の 6×6 の表の各成分が、すべての \( A \in M_n \) に対して \(\lVert A \rVert_\alpha \le C_{\alpha\beta} \lVert A \rVert_\beta\) を満たす最良定数 \( C_{\alpha\beta} \) を与えることを確認せよ。例えば、フロベニウスノルム（行 5）とスペクトルノルム（列 2）について、任意の \( A \in M_n \) に対して \(\lVert A \rVert_2 \le \sqrt{n} \lVert A \rVert_2\) が成り立つ。ここで定数 \(\sqrt{n}\) は表の位置 5,2 にある。表中のすべてのノルムは行列ノルムである。
\begin{array}{c|cccccc}
\lVert \cdot \rVert_\alpha \backslash \lVert \cdot \rVert_\beta & \lVert \cdot \rVert_1 & \lVert \cdot \rVert_2 & \lVert \cdot \rVert_\infty & n\lVert \cdot \rVert_1 & \sqrt{n}\lVert \cdot \rVert_2 & n\lVert \cdot \rVert_\infty \\
\hline
\lVert \cdot \rVert_1 & 1 & \sqrt{n} & n & 1 & \sqrt{n} & 1 \\
\lVert \cdot \rVert_2 & \sqrt{n} & 1 & \sqrt{n} & 1 & 1 & 1 \\
\lVert \cdot \rVert_\infty & n & \sqrt{n} & 1 & 1 & \sqrt{n} & 1 \\
n\lVert \cdot \rVert_1 & n & n^{3/2} & n & 1 & n & n \\
\sqrt{n}\lVert \cdot \rVert_2 & \sqrt{n} & \sqrt{n} & \sqrt{n} & 1 & 1 & 1 \\
n\lVert \cdot \rVert_\infty & n & n & n & n & n & 1
\end{array}
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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