5.6.36
定理 5.6.36. \( \lVert \cdot \rVert \) を \(\mathbb{C}^n\) 上のノルム \(\lVert \cdot \rVert\) によって誘導される \(M_n\) 上の行列ノルムとする。このとき次の条件は同値である。
(a) \(\lVert \cdot \rVert\) が絶対ノルムである。
(b) \(\lVert \cdot \rVert\) が単調ノルムである。
(c) \(B = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in M_n\) であるとき、
\lVert B \rVert = \max_{1 \leq i \leq n} |\lambda_i|
証明
(a) と (b) が同値であることは (5.4.19(c)) の命題である。(b) ⇒ (c) を示すために、\(\lVert \cdot \rVert\) が単調であると仮定する。\(B = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) とし、
L = \max \{ |\lambda_1|, \ldots, |\lambda_n| \} = |\lambda_k|
とおく。このとき、\(|Bx| \leq |Lx|\) となり、したがって \(\lVert Bx \rVert \leq \lVert Lx \rVert = L \lVert x \rVert\) が成り立つ。特に \(x = e_k\) のとき等号が成立する。よって、
\lVert B \rVert \\
= \max_{x \neq 0} \frac{\lVert Bx \rVert}{\lVert x \rVert} \\
\leq \max_{x \neq 0} \frac{L \lVert x \rVert}{\lVert x \rVert}
= L
が成り立ち、また \(x = e_k\) のとき等号成立するので、(c) が従う。
(c) ⇒ (b) を示す。任意の \(x, y \in \mathbb{C}^n\) で \(|x| \leq |y|\) を仮定する。このとき複素数 \(\lambda_k\) を選び、\(x_k = \lambda_k y_k\) かつ \(|\lambda_k| \leq 1\) となるようにする (\(k = 1, \ldots, n\))。ここで \(B = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) とすると、
\lVert x \rVert \\
= \lVert By \rVert \\
\leq \lVert B \rVert \lVert y \rVert \\
= \max_{1 \leq i \leq n} |\lambda_i| \lVert y \rVert \\
\leq \lVert y \rVert
が成り立つ。したがって、\(\lVert \cdot \rVert\) は単調である。■
さらに、ベクトル空間 \(M_n\) はフロベニウス内積 (5.2.7) により内積空間となるので、任意のノルムに対して双対ノルム (5.4.12) を定義できる。
行列解析の総本山
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