[行列解析5.6.25]系：誘導行列ノルムの大小関係の同値条件

5.6.25

\(\mathbb{M}_n\) 上の誘導行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert_{\alpha}\) および \(\lVert \cdot \rVert_{\beta}\) に対して、次が成立する：

\lVert A \rVert_{\alpha} \le \lVert A \rVert_{\beta} \quad \text{for all } A \in \mathbb{M}_n \\ \quad \text{if and only if} \quad \\ \lVert A \rVert_{\alpha} = \lVert A \rVert_{\beta} \quad \text{for all } A \in \mathbb{M}_n

証明：もしすべての \(A \in \mathbb{M}_n\) に対して \(\lVert A \rVert_{\alpha} \le \lVert A \rVert_{\beta}\) が成り立つなら、(5.6.21) より \(\lVert A \rVert_{\beta} \le \lVert A \rVert_{\alpha}\) も成り立つ。

したがって、前の系は、誘導行列ノルムはそれ自身と異なる誘導行列ノルムよりも一様に小さくなることはないことを示している。次の定理はさらに一般化して、任意の行列ノルムは、それ自身と異なる誘導行列ノルムよりも一様に小さくなることはないと述べている。

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