5.6.18
定理 5.6.18. \( \lVert \cdot \rVert_{\alpha} \) と \( \lVert \cdot \rVert_{\beta} \) を \(\mathbb{C}^n\) 上のノルムとする。対応する誘導行列ノルムをそれぞれ \( \lVert \cdot \rVert_{\alpha} \) と \( \lVert \cdot \rVert_{\beta} \) とし、
\lVert A \rVert_{\alpha} = \max_{x \neq 0} \frac{\lVert Ax \rVert_{\alpha}}{\lVert x \rVert_{\alpha}}, \quad \\
\lVert A \rVert_{\beta} = \max_{x \neq 0} \frac{\lVert Ax \rVert_{\beta}}{\lVert x \rVert_{\beta}}
と定義する。さらに
R_{\alpha\beta} = \max_{x \neq 0} \frac{\lVert x \rVert_{\alpha}}{\lVert x \rVert_{\beta}}, \quad \\
R_{\beta\alpha} = \max_{x \neq 0} \frac{\lVert x \rVert_{\beta}}{\lVert x \rVert_{\alpha}}
と定義すると、次が成立する：
\max_{A \neq 0} \frac{\lVert A \rVert_{\alpha}}{\lVert A \rVert_{\beta}} = R_{\alpha\beta} R_{\beta\alpha}
\max_{A \neq 0} \frac{\lVert A \rVert_{\alpha}}{\lVert A \rVert_{\beta}} \\
=
\max_{A \neq 0} \frac{\lVert A \rVert_{\beta}}{\lVert A \rVert_{\alpha}} \\
= R_{\alpha\beta} R_{\beta\alpha}
証明. 不等式 (5.6.10) により、任意の \(x, y \in \mathbb{C}^n\) に対して
\lVert x \rVert_{\alpha} \le R_{\alpha\beta} \lVert x \rVert_{\beta}, \quad \\
\lVert y \rVert_{\beta} \le R_{\beta\alpha} \lVert y \rVert_{\alpha}
が成立する。ここで非ゼロ行列 \(A \in M_n\) とベクトル \(\xi \in \mathbb{C}^n\) を \(\lVert A\xi \rVert_{\alpha} = \lVert A \rVert_{\alpha} \lVert \xi \rVert_{\alpha}\) を満たす非ゼロベクトルとする。
\lVert A \rVert_{\alpha} \\
= \frac{\lVert A\xi \rVert_{\alpha}}{\lVert \xi \rVert_{\alpha}} \\
= \frac{\lVert \xi \rVert_{\beta}}{\lVert \xi \rVert_{\alpha}} \frac{\lVert A\xi \rVert_{\alpha}}{\lVert \xi \rVert_{\beta}} \\
\le R_{\beta\alpha} R_{\alpha\beta} \frac{\lVert A\xi \rVert_{\beta}}{\lVert \xi \rVert_{\beta}} \\
\le R_{\beta\alpha} R_{\alpha\beta} \lVert A \rVert_{\beta}
したがって、すべての非ゼロ行列 A に対して
\max_{A \neq 0} \frac{\lVert A \rVert_{\alpha}}{\lVert A \rVert_{\beta}} \le R_{\alpha\beta} R_{\beta\alpha}
となる。
さらに、ある行列 \(B = y_0 w^*\) を適切に選ぶことで、この不等式は逆にでき、すなわち
R_{\alpha\beta} R_{\beta\alpha} \\
\le \frac{\lVert B \rVert_{\alpha}}{\lVert B \rVert_{\beta}} \\
\le
\max_{A \neq 0} \frac{\lVert A \rVert_{\alpha}}{\lVert A \rVert_{\beta}} \\
\le R_{\alpha\beta} R_{\beta\alpha}
となり、(5.6.20) が成立する。さらに (5.6.21) は α と β の対称性から従う。
主張を確認するために、非ゼロベクトル \(y_0\) と \(z_0\) を次の条件で選ぶ：
\lVert y_0 \rVert_{\alpha} = R_{\alpha\beta} \lVert y_0 \rVert_{\beta}, \\
\quad
\lVert z_0 \rVert_{\beta} = R_{\beta\alpha} \lVert z_0 \rVert_{\alpha}
定理 5.5.9(d) により、次を満たす \(w \in \mathbb{C}^n\) が存在する：
(a) \; |w^* x| \le \lVert x \rVert_{\beta} \text{ for all } x \in \mathbb{C}^n, \quad \\
(b) \; w^* z_0 = \lVert z_0 \rVert_{\beta}
行列 \(B = y_0 w^*\) を考える。(b) より次が成立する：
\frac{\lVert B z_0 \rVert_{\alpha}}{\lVert z_0 \rVert_{\alpha}} \\
= \frac{\lVert y_0 w^* z_0 \rVert_{\alpha}}{\lVert z_0 \rVert_{\alpha}} \\
= \frac{|w^* z_0| \, \lVert y_0 \rVert_{\alpha}}{\lVert z_0 \rVert_{\alpha}} \\
= \frac{\lVert z_0 \rVert_{\beta}}{\lVert z_0 \rVert_{\alpha}} \frac{\lVert y_0 \rVert_{\alpha}}{\lVert y_0 \rVert_{\beta}} \lVert y_0 \rVert_{\beta} \\
= R_{\beta\alpha} R_{\alpha\beta} \lVert y_0 \rVert_{\beta}
一方、(a) を用いると次が得られる：
\frac{\lVert B y_0 \rVert_{\beta}}{\lVert y_0 \rVert_{\beta}} \\
= \frac{\lVert y_0 w^* y_0 \rVert_{\beta}}{\lVert y_0 \rVert_{\beta}} \\
= |w^* y_0| \\
\le \lVert y_0 \rVert_{\beta}
これら二つの境界から、次が成立する：
\lVert B \rVert_{\alpha} \\
\ge R_{\beta\alpha} R_{\alpha\beta} \lVert y_0 \rVert_{\beta} \\
\ge R_{\alpha\beta} R_{\beta\alpha} \lVert B \rVert_{\beta}
したがって、(5.6.21) の主張は、(5.6.20) の右辺における α と β の対称性から従う。
\(\mathbb{C}^n\) 上の二つのノルムが \(\mathbb{M}_n\) 上で同じ誘導行列ノルムを生じるのは、どちらか一方のノルムが他方のスカラー倍である場合のみである。
行列解析の総本山
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