[行列解析5.6.13]系：行列の成分に対する上界とスペクトル半径

5.6.13

系 5.6.13. \( A \in M_n \) と \( \epsilon \gt 0 \) が与えられたとする。このとき、ある定数 \( C = C(A, \epsilon) \) が存在して、全ての \( k = 1, 2, \dots \) および全ての \( i, j = 1, \dots, n \) に対して次が成り立つ：

|(A^k)_{ij}| \leq C (\rho(A) + \epsilon)^k

証明. 次の行列を考える：

\tilde{A} = (\rho(A) + \epsilon)^{-1} A

この行列のスペクトル半径は1未満であることがわかる。したがって \(\tilde{A}^k \to 0\) が \( k \to \infty \) で成立する。特に、列 \(\{\tilde{A}^k\}\) は有界であるため、ある有限の定数 \( C \gt 0 \) が存在して、全ての \( k = 1, 2, \dots \) および全ての \( i, j = 1, \dots, n \) に対して次が成り立つ：

|(\tilde{A}^k)_{ij}| \leq C

これは主張された上界である。

演習. 次の行列を考える：

A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}

\( A^k \) を明示的に計算し、(5.6.13) において常に \(\epsilon = 0\) をとることはできないことを示せ。

個々の成分 \((A^k)_{ij}\) が \( k \to \infty \) で \(\rho(A)^k\) の挙動を示すとは限らないが、任意の行列ノルム \( \lVert \cdot \rVert \) に対して列 \(\{\lVert A^k \rVert\}\) は漸近的に \((\rho(A))^k\) の挙動を示す。