[行列解析5.5.P11]

5.5.問題11

\(\|\cdot\|\) を \(\mathbb{F}^n\) 上の弱単調ノルムとする：

\|[x_1 \dots x_{k-1} 0 x_{k+1} \dots x_n]^T\| \le \|[x_1 \dots x_{k-1} x_k x_{k+1} \dots x_n]^T\|

すべての \(x \in \mathbb{F}^n\) および \(k = 1, \dots, n\) に対して。次の事項について説明せよ：

(a) なぜこの条件は、(5.4.19(c)) の証明で現れたより強い条件：

\|[\alpha_1 x_1 \dots \alpha_n x_n]^T\| \le \|x\|

を満たすのか説明せよ。ここで \(\alpha_k \in [0,1]\) である。弱単調ノルムの単位球上の点の座標の一つをゼロに縮小すると、その線分全体が単位球内に含まれることを説明せよ。また、単調ノルムは弱単調であることを説明せよ。

(b) 頂点が \(\pm[2,2]^T\) および \(\pm[1,-1]^T\) の平行四辺形が、R2 上の弱単調でないノルムの単位球であることを示せ。

(d) x = [x1 x2]^T が絶対ノルムの単位球の境界上の点であれば、[±x1 ± x2]^T も単位球上にある。これを図示し、R2 上で絶対でないノルムの単位球を示せ。Rn ではどうなるか？

(e) 頂点が ±[0,1]^T、±[1,0]^T、±[1,1]^T の R2 上の多角形をスケッチせよ。これが Rn 上の弱単調だが単調でない（したがって絶対でもない）ノルムの単位球である理由を説明せよ。