[行列解析5.5.7]ノルムの単位球と凸性

5.5.7

観察 5.5.7. ノルムの単位球は凸集合である。すなわち、もし \(\lVert x \rVert \leq 1\)、\(\lVert y \rVert \leq 1\)、かつ \(\alpha \in [0,1]\) のとき、次が成り立つ：

\lVert \alpha x + (1 - \alpha) y \rVert \leq \lVert \alpha x \rVert + \lVert (1 - \alpha) y \rVert = \alpha \lVert x \rVert + (1 - \alpha) \lVert y \rVert \leq \alpha + (1 - \alpha) \leq 1

したがって、凸結合 \(\alpha x + (1-\alpha)y\) も単位球に含まれる。

以上で示した単位球に関する必要条件は、ノルムを特徴づけるための十分条件でもある。