[行列解析5.4.P3]

5.4.問題3

\( 1 \le p_1 \lt p_2 \lt \infty \) の場合、\( \mathbb{C}^n \) または \( \mathbb{R}^n \) 上の対応する \( l_p \)-ノルム間の最適境界は次の通りであることを示せ：

\|x\|_{p_2} \le \|x\|_{p_1} \le n^{\frac{1}{p_1} - \frac{1}{p_2}} \|x\|_{p_2}

また、次の表の各項目について、与えられた境界 \( \|x\|_\alpha \le C_{\alpha\beta} \|x\|_\beta \) を確認せよ。

[C_{\alpha\beta}] = \begin{bmatrix} 1 & \sqrt{n} & n \\ 1 & 1 & \sqrt{n} \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad \\ \alpha \backslash \beta = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \infty \\ 1 & 2 & \infty \\ 1 & 2 & \infty \end{bmatrix}

各項目について、境界が達成される非零ベクトル \( x \) を示せ。