[行列解析5.4.P15]

5.4.問題15
- 5.4.P15
行列解析の総本山

5.4.問題15

5.4.P15

テキストで与えられたプレノルムの例 \(f(x) = (\|x\|_\alpha \|x\|_\beta)^{1/2}\)、\(\|x\|_\alpha = \|[10x_1, x_2]^T\|_\infty\)、\(\|x\|_\beta = \|[x_1, 10x_2]^T\|_\infty\) を考える。第一象限における単位球 \(\{x \in \mathbb{R}^2 : f(x) \le 1\}\) は、直線 \(x_2 = 1/\sqrt{10}\)、\(x_1 = 1/\sqrt{10}\) の線分および双曲線 \(x_1 x_2 = 1/100\) の弧によって境界付けられることを示せ。この集合を描き、凸でないことを示せ。残りの三象限の単位球は、軸に沿った反射によって得られることを説明せよ。双対ノルム \(f^D\) の単位球は第一象限で線分 \(x_1/10 + x_2 = \sqrt{10}\) および \(x_1 + x_2/10 = \sqrt{10}\) により境界付けられ、第一象限の部分を反射させて全体を得ることができ、凸であることを示せ。さらに二重双対ノルム \(f^{DD}\) の第一象限の単位球は、線分 \(x_2 = 1/\sqrt{10}\)、\(x_1 = 1/\sqrt{10}\)、および \(x_1 + x_2 = 11/(10 \sqrt{10})\) により境界付けられ、反射で残りの部分を得られ、凸であることを示せ。最後に、\(f^{DD}\) の単位球は \(f\) の閉凸包と一致することを示せ。