[行列解析5.4.P11]

5.4.問題11
- 5.4.P11
行列解析の総本山

5.4.問題11

5.4.P11

\(F^n\) 上のノルム \(\| \cdot \|\) と行列 \(A \in M_n(F)\) が与えられるとき、もし \(A\) が等長写像であれば \(\|Ax\| = \|x\|\) がすべての \(x \in F^n\) で成り立つ。例えば、任意のユニタリ行列はユークリッドノルムに対する等長写像であり、恒等行列はすべてのノルムに対して等長である。次を示せ:

(a) すべての等長写像は非特異である。
(b) もし \(A, B \in M_n(F)\) が等長写像であれば、\(A^{-1}\) と \(AB\) も等長写像である。したがって、等長写像の集合は一般線形群の部分群を形成する。この部分群はノルム \(\| \cdot \|\) の等長写像群として知られる。
(c) \(A \in M_n\) が等長写像であれば、A のすべての固有値の絶対値は 1 である。等長写像群はユニタリ行列群に相似であることが知られている (Auerbach の定理)、したがって \(A\) はユニタリ行列に相似である。
(d) \(A \in M_n(F)\) が等長写像であれば、\(|\det A| = 1\)。
(e) 任意のユニタリ一般置換行列は、すべての k-ノルムおよび 1 ≤ p ≤ ∞ の lp-ノルムに対して等長写像である。典型的なユニタリ一般置換行列を説明せよ。