[行列解析5.4.19]定理：絶対ノルムとその双対ノルムの性質

5.4.19
行列解析の総本山

5.4.19

定理 5.4.19. \( V = F^n \)（\( F = \mathbb{R} \) または \( \mathbb{C} \)）上のノルム \(\|\cdot\|\) について次が成り立つ：

(a) \(\|\cdot\|\) が絶対ノルムであれば、全ての \( y \in V \) に対して

\|y\|_D = \max_{x \neq 0} \frac{|y|^T |x|}{\|x\|}

(b) \(\|\cdot\|\) が絶対ノルムであれば、双対ノルム \(\|\cdot\|_D\) も絶対かつ単調である。

証明（F = \(\mathbb{C}\) の場合）。

(a) \(\|\cdot\|\) が絶対ノルムと仮定する。任意の \( y = [y_k] \in \mathbb{C}^n \)、任意の \( x = [x_k] \in \mathbb{C}^n \)、および \(|z| = |x|\) を満たす \( z = [z_k] \in \mathbb{C}^n \) について、次が成り立つ：

|y^* z| = |\prod_{k=1}^n \overline{y_k} z_k| \\ \le \prod_{k=1}^n |y_k| |z_k| = |y|^T |z| = |y|^T |x|

実パラメータ \(\theta_1, \dots, \theta_n\) を選ぶことで、\( z_k = e^{i \theta_k} x_k \) とすれば等号が成り立つ。したがって、

\|y\|_D = \max_{x \neq 0} \frac{|y^* x|}{\|x\|} = \max_{x \neq 0} \frac{|y|^T |x|}{\|x\|}

(b) \(\|\cdot\|\) が絶対ノルムであると仮定する。式 (5.4.20) により、全ての \( y \in \mathbb{C}^n \) に対して \(\|y\|_D = \||y|\|_D\) が成り立つ。また、\(|z| \le |y|\) ならば

\|z\|_D = \max_{x \neq 0} \frac{|z|^T |x|}{\|x\|} \le \max_{x \neq 0} \frac{|y|^T |x|}{\|x\|} = \|y\|_D

したがって \(\|\cdot\|_D\) は単調である。

(c) \(\|\cdot\|\) が単調であり \(|y| = |x|\) の場合、\(|y| \le |x|\) および \(|y| \ge |x|\) から \(\|y\| \le \|x\|\) および \(\|y\| \ge \|x\|\) が成り立ち、\(\|y\| = \|x\|\) となる。逆に \(\|\cdot\|\) が絶対ノルムであると仮定する。任意の \( k = 1, \dots, n \) および \(\alpha \in [0,1]\) に対して、次が成り立つ：

\|[x_1 \dots x_{k-1}, \alpha x_k, x_{k+1} \dots x_n]^T\| \le \|x\|

したがって、全ての \( x \in \mathbb{C}^n \) および \(\alpha_k \in [0,1]\) に対して \(\|[\alpha_1 x_1 \dots \alpha_n x_n]^T\| \le \|x\|\) であり、\(|y| \le |x|\) ならば \(\|y\| \le \|x\|\) が成り立つ。

演習：\( F = \mathbb{R} \) の場合について、この定理を証明せよ。

絶対ノルムが単調であることの概念的証明については (5.5.11) を参照。