[行列解析5.4]問題集

5.4.問題集
行列解析の総本山

5.4.問題集

5.4.P1

式 (5.4.5) が次のように同値に表される理由を説明せよ：

C_m(\|\cdot\|_\alpha, \|\cdot\|_\beta) \\ \le \frac{\|x\|_\beta}{\|x\|_\alpha} \\ \le C_M(\|\cdot\|_\alpha, \|\cdot\|_\beta), \\ \quad x \neq 0

ここで、\( C_m(\cdot, \cdot) \) および \( C_M(\cdot, \cdot) \) は (5.4.5) の各ノルムに関して得られる最適定数を示す。さらに、次を示せ：

C_m(\|\cdot\|_\beta, \|\cdot\|_\alpha) \\ = \frac{1}{C_M(\|\cdot\|_\alpha, \|\cdot\|_\beta)}

5.4.P2

5.4.P3

\( 1 \le p_1 \lt p_2 \lt \infty \) の場合、\( \mathbb{C}^n \) または \( \mathbb{R}^n \) 上の対応する \( l_p \)-ノルム間の最適境界は次の通りであることを示せ：

\|x\|_{p_2} \le \|x\|_{p_1} \le n^{\frac{1}{p_1} - \frac{1}{p_2}} \|x\|_{p_2}

また、次の表の各項目について、与えられた境界 \( \|x\|_\alpha \le C_{\alpha\beta} \|x\|_\beta \) を確認せよ。

[C_{\alpha\beta}] = \begin{bmatrix} 1 & \sqrt{n} & n \\ 1 & 1 & \sqrt{n} \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad \\ \alpha \backslash \beta = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \infty \\ 1 & 2 & \infty \\ 1 & 2 & \infty \end{bmatrix}

各項目について、境界が達成される非零ベクトル \( x \) を示せ。

5.4.P4

実または複素ベクトル空間上の二つのノルムは、式 (5.4.5) のように二つの定数と不等式によって関係づけられるとき、等価であることを示せ。

5.4.P5

式 (5.4.2) の関数 \( f_k \) は次の性質を持つことを示せ：各 \( x \) に対して \( f(x) \to 0 \)、さらに \( \|f_k - f_j\|_1 \to 0 \) （\( k,j \to \infty \)）および各 \( k \le 2 \) に対してある \( J>k \) が存在し、全ての \( j>J \) に対して \(\|f_k - f_j\|_\infty > k^{1/2}\) となる。したがって、無限次元ノルム空間の列は、ある意味（点ごと）では収束し、あるノルムではコーシー列であり、別のノルムではコーシー列でない場合がある。

5.4.P6

完備な実または複素ベクトル空間 \(V\) と、\(V\) 内の与えられた数列 \(\{x(k)\}\)、および \(V\) 上の与えられたノルム \( \| \cdot \| \) を考える。もしある \(M \ge 0\) が存在して、すべての \(n = 1, 2, \dots\) に対して

\sum_{k=1}^{n} \|x(k)\| \le M

が成り立つなら、部分和の数列 \(\{y(n)\}\) を

y(n) = \sum_{k=1}^{n} x(k)

と定義すると、\(\{y(n)\}\) は \(V\) のある点に収束することを示せ。このことは実数の無限級数の収束に関するどの定理の一般化か?

5.4.P7

任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して、\(\|x\|_\infty = \lim_{p \to \infty} \|x\|_p\) を示せ。もし \(|x| > 0\) なら、\(\lim_{p \to -\infty} \|x\|_p\) は何か?

5.4.P8

\( \mathbb{R}^n \) または \( \mathbb{C}^n \) 上の k-ノルムの双対ノルムは次の通りであることを示せ:

\|y\|_D^{[k]} = \max \{\|y\|_1, \|y\|_\infty\}

もし \(k=1\) または \(k=n\) の場合、これは何を意味するか?

5.4.P9

\( \mathbb{R}^n \) または \( \mathbb{C}^n \) 上のノルム \( \| \cdot \| \) と標準基底ベクトル \(e_i\) を考える。なぜ \(\|e_i\|\|e_i\|_D \ge 1\) が成り立つのか説明せよ。さらに \(\|e_1\|\|e_1\|_D > 1\) となるノルムは存在するか?

5.4.P10

\( \mathbb{C}^n \) 上の 2 つのノルム \(\|\cdot\|_\alpha\) と \(\|\cdot\|_\beta\) があり、ある定数 \(C>0\) で \(\|x\|_\alpha \le C \|x\|_\beta\) がすべての \(x \in \mathbb{C}^n\) で成り立つとする。このとき \(\|x\|_D^\beta \le C \|x\|_D^\alpha\) もすべての \(x \in \mathbb{C}^n\) で成り立つ理由を説明せよ。

5.4.P11

\(F^n\) 上のノルム \(\| \cdot \|\) と行列 \(A \in M_n(F)\) が与えられるとき、もし \(A\) が等長写像であれば \(\|Ax\| = \|x\|\) がすべての \(x \in F^n\) で成り立つ。例えば、任意のユニタリ行列はユークリッドノルムに対する等長写像であり、恒等行列はすべてのノルムに対して等長である。次を示せ:

(a) すべての等長写像は非特異である。
(b) もし \(A, B \in M_n(F)\) が等長写像であれば、\(A^{-1}\) と \(AB\) も等長写像である。したがって、等長写像の集合は一般線形群の部分群を形成する。この部分群はノルム \(\| \cdot \|\) の等長写像群として知られる。
(c) \(A \in M_n\) が等長写像であれば、A のすべての固有値の絶対値は 1 である。等長写像群はユニタリ行列群に相似であることが知られている (Auerbach の定理)、したがって \(A\) はユニタリ行列に相似である。
(d) \(A \in M_n(F)\) が等長写像であれば、\(|\det A| = 1\)。
(e) 任意のユニタリ一般置換行列は、すべての k-ノルムおよび 1 ≤ p ≤ ∞ の lp-ノルムに対して等長写像である。典型的なユニタリ一般置換行列を説明せよ。

5.4.P12

5.4.P13

\(1 \le p \le \infty\) かつ \(p \neq 2\) の場合、行列 \(A \in M_n(F)\) は lp-ノルムの等長写像であることと、ユニタリ一般置換行列であることが同値であることを証明せよ。

5.4.P14

関数 \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) を \(f(x) = |x_1 x_2|^{1/2}\) とする。このとき集合 \(\{x : f(x) = 1\}\) はコンパクトでないことを示せ。これは (5.4.8) と矛盾するか?

5.4.P15

テキストで与えられたプレノルムの例 \(f(x) = (\|x\|_\alpha \|x\|_\beta)^{1/2}\)、\(\|x\|_\alpha = \|[10x_1, x_2]^T\|_\infty\)、\(\|x\|_\beta = \|[x_1, 10x_2]^T\|_\infty\) を考える。第一象限における単位球 \(\{x \in \mathbb{R}^2 : f(x) \le 1\}\) は、直線 \(x_2 = 1/\sqrt{10}\)、\(x_1 = 1/\sqrt{10}\) の線分および双曲線 \(x_1 x_2 = 1/100\) の弧によって境界付けられることを示せ。この集合を描き、凸でないことを示せ。残りの三象限の単位球は、軸に沿った反射によって得られることを説明せよ。双対ノルム \(f^D\) の単位球は第一象限で線分 \(x_1/10 + x_2 = \sqrt{10}\) および \(x_1 + x_2/10 = \sqrt{10}\) により境界付けられ、第一象限の部分を反射させて全体を得ることができ、凸であることを示せ。さらに二重双対ノルム \(f^{DD}\) の第一象限の単位球は、線分 \(x_2 = 1/\sqrt{10}\)、\(x_1 = 1/\sqrt{10}\)、および \(x_1 + x_2 = 11/(10 \sqrt{10})\) により境界付けられ、反射で残りの部分を得られ、凸であることを示せ。最後に、\(f^{DD}\) の単位球は \(f\) の閉凸包と一致することを示せ。

5.4.P16

ノルム \(\| \cdot \|\) 上で、

\max_{x \neq 0} (\|x\|_D / \|x\|) = \\ \max_{\|x\|=1} \max_{\|y\|=1} (\|x\|_2^2)^* (\|y\|_2^2) \|x\|^2 \|y\|^2 \\ \le \max_{\|x\|=1} \|x\|_2^2 = C_M

および

\min_{x \neq 0} (\|x\|_D / \|x\|) \ge \min_{\|x\|=1} \|x\|_2^2 = C_m

が成り立つことを示せ。これにより、すべての \(x \in V\) に対して \(C_m |x| \le \|x\|_D \le C_M \|x\|\) が成り立ち、幾何学的定数により、任意のノルムとその双対の間の境界が与えられることがわかる。

5.4.P17

プレノルム \(f(\cdot)\) を \( \mathbb{R}^n \) または \( \mathbb{C}^n \) 上で考える。次を示せ:

f^D(y) = \max_{f(x) \le 1} \mathrm{Re}\, y^* x \\ = \max_{f(x) \le 1} |y^* x| = \max_{x \neq 0} \frac{\mathrm{Re}\, y^* x}{f(x)}

5.4.P18

ノルム \(\| \cdot \|\) 上で、線形独立な \(x_1, \dots, x_n \in V\) を考える。ある \(\epsilon \gt 0\) が存在して、すべての \(i = 1, \dots, n\) に対して \(\|x_i - y_i\| \lt \epsilon\) ならば、\(y_1, \dots, y_n\) も線形独立である理由を説明せよ。

さらに詳しく知りたい場合は、Householder (1964) における双対ノルムに関する情報を参照せよ。プレノルムの双対がノルムとなるという考えは J. von Neumann によるもので、彼はゲージ関数（現在の対称絶対ノルム）について Tomsk Univ. Rev. 1 (1937) 205–218 の論文で論じた。より入手しやすい参考文献としては、von Neumann の Collected Works 第4巻 (ed. A. H. Taub, Macmillan, New York, 1962) がある。