5.2.問題10
5.2.P10
\(A \in M_n\) の固有値を \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) とする。シュールの不等式 (2.3.2a) が次の形で書ける理由を説明しなさい。
(5.2.12)
\sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2 \leq \lVert A \rVert_2^2
また、より強い不等式 (2.6.9) が次の形で書ける理由を説明しなさい。
(5.2.13)
\sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2 \\
\leq \lVert A \rVert_4^2 - \lVert AA^{*} - A^{*}A \rVert_2^2
さらに、(2.6.10) のより強い不等式が次の形で書ける理由を説明しなさい。
(5.2.14)
\begin{align}
& \sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2 \notag \\
& \leq
\Bigg( \lVert A \rVert_2^2 - \frac{1}{n}\lvert \langle A, I \rangle_F \rvert^2 \Bigg)^2 \notag \\
& \quad \quad - \lVert AA^{*} - A^{*}A \rVert_2^2 \notag \\
& \quad \quad + \frac{1}{n}\lvert \langle A, I \rangle_F \rvert^2 \notag
\end{align}
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
am-gm.com
2025.08.05
コメント